Bài tập Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 7: Về số nguyên tố, hợp số, số chính phương

CHUYÊN ĐỀ 7: VỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ - SỐ CHÍNH PHƯƠNG
LÝ THUYẾT CƠ BẢN
LÝ THUYẾT SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ:
Định nghĩa:
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
Tính chất:
Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tốn không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số , chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.
Cách xác định số ...các ước của nó (Không kể chính nó) gọi là ‘Số hoàn chỉnh’.
 Ví dụ: 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh
SỐ CHÍNH PHƯƠNG:
ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
TÍNH CHẤT: 
Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không c...g chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
Một số bài toán về số chính phương:
Phương pháp chứng minh một số là số chính phương:
Dựa vào định nghĩa: Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán.
Dựa vào tính chất đặc biệt: “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”.
Phương pháp chứng minh một số ...nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố đó là số chẵn hay lẻ? 
Bài 2: Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó. 
Bài 3: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố.
Bài 4: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 được không?
Bài 5: Tìm hai số nguyên tố, sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố.
Bài 6: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một ...n tố.
Bài 11: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
p + 2 và p + 10
p + 10 và p + 14
p + 10 và p + 20
p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14
Bài 12: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6.
Bài 13: Cho a + b = p, p là một số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau.
Bài 14: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng?
Bài 15: Số a4 + a2 + 1 có thể là một số nguyên tố hay khô...nh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.
Dạng 2 : Chứng minh một số không phải là số chính phương
Bài 1: Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương. 
Bài 2: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương. 
Bài 3: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương. 
Bài 4: Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số...ương.
Bài 11: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương.
Bài 12: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1
không phải là số chính phương.
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị là một số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
a) n2 + 2n + 12 	b) n(n + 3)
c) 13n + 3	d) n2 + n + 1589
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương
a) 	a2 + a + 43
b) 	a2 + 81
c) 	a2... các số A và B.
Bài 2: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị.
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Bài 5: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Bài 6: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương củ...ng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2
Bài 3: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố.
HƯỚNG DẪN:
Tổng của 4 số nguyên tố là một số nguyên tố => tổng của 4 số nguyên tố là 1 số lẻ => trong 4 số đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Vậy 4 số nguyên tố cần tìm là: 2...ác số nguyên tố. (a>b)
Theo bài ra ta có:a-b = ca+b=d (*) => c + b = d - b
Từ (*) => a > 2, a là số nguyên tố lẻ => c + b và d – b là số lẻ. Do b, c, d đều là số nguyên tố nên để c + b và d – b là số lẻ thì => b chẵn. Vậy b = 2 
Bài toán đưa về dạng tìm một số nguyên tố a sao cho a – 2 và a + 2 cũng là số nguyên tố.
Nếu a = 5 => a – 2 = 3; a + 2 = 7 đều là số nguyên tố
Nếu a ≠ 5 . Xét 2 trường hợp
+ a chia 3 dư 1 => a + 2 chia hết cho 3 : không là số nguyên tố
+ a