Bài tập Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 9: Dãy phân số theo quy luật

CHUYÊN ĐỀ 9: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT
DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = n+102n-8 có giá trị là một số nguyên.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A = 21n+36n+4
Bài 3: Cho phân số: A = 633n+1 với n thuộc số tự nhiên.
Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?
Bài tập tự luyện:
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A = n+32n-2 có giá trị là số nguyên.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để ph...+1+2+1+2+3++(1+2+3++98)1.98+2.97+3.96++98.1
Bài tập tự luyện:
A =
B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! 
C =
D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
 (50 chữ số 9) 
DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:
n+12n-3
2n+34n+8
3n+25n+3
Bài 2: Chứng minh rằng: 
Bài 3: Cho A =1 + 12+ 13+ 14++ 1100
Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a) 
b) 
Bài 5: ... 1: Tìm x, biết rằng: 15.8+ 18.11+ 111.14++ 1x.x+3= 1011540
Bài 2: Tìm x, biết rằng: 
Bài 3: Tìm x, biết rằng: 
Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820
Bài tập tự luyện:
Bài 5: 1 + 
Bài 6: 
Bài 7: 
DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
Bài tập minh họa:
Bài 1: Cho và 
So sánh A và B?
Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 +  + 1000 và B = 1.2.311
So sánh A và B?
Bài 3: So sánh với 
Bài 4: So sánh với 
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho A= 1015+11016+1 và B= 1016+11017+1
So sánh A và B?
Bài 2: Cho A= 10199...i tập minh họa:
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = n+102n-8 có giá trị là một số nguyên.
A = n+102n-8 => 2A = 2n-8+282n-8 = 1 + 282n-8 Để 2A nguyên thì 2n – 8 phải là ước của 28
Ta có bảng đáp số: 
2n - 8
n
2A
A
Kết luận
-28
-10
-1
-1/2
L
-14
-3
-2
-1
TM
-7
½
-4
-2
L
-4
2
-7
-7/2
L
-2
3
-14
-7
TM
-1
7/2
-28
-14
L
1
9/2
28
14
L
2
5
14
7
TM
4
6
7
7/2
L
7
15/2
4
2
L
14
11
2
1
TM
28
18
1
1/2
L

Bài 3: Cho phân số: A = 633n+1 với n thuộc số tự nhiên.
Với giá trị nào của n thì A rút gọn ...++13n
3S = 3 + (1 + 13+ 132+ 133++13n-13n)
3S = 3 + S - 13n
2S = 3 - 13n
S = 3 - 13n2
2A = 1 + 12+ 122+ 123++12100-12100
2A = 1 +A - 12100
A = 1 - 12100
C = 32.43.54..10099 = 1002 = 50
.
Bài 2: Tính các tổng sau:
A = 11.2+ 12.3+ 13.4++ 1999.1000
A = 1 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14 + ..+ 1999 - 11000
A = 1 - 11000 = 9991000
B = 11.6+ 16.11++ 1496.501
B = 151- 16+16-111++1496-1501= 
B = 151-1501 = 100501
C = 11.2.3+ 12.3.4+ 13.4.5++ 1998.999.1000
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta v... 110-111+111-112+112-113++199-1100
A = 110-1100 = 9100 
B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! 
Ta có : 1! = 2! -1! 
2.2! = 3 ! -2! 
3.3! = 4! -3! 
..... ..... ..... 
n.n! = (n + 1) –n! 
Vậy 
B = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
C =
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét: 
11.2 - 12.3 = 21.2.3 ; 12.3 - 13.4 = 22.3.4; ; 198.99 - 199.100...12.3 - 13.4 = 22.3.4; ; 137.38 - 138.39 = 237.38.39
Tổng quát: 1n.(n+1) - 1(n+1).(n+2) = 2n.n+1.(n+2)
C = 11.2 - 12.3 + 12.3 - 13.4 + + 137.38 - 138.39 = 11.2 - 138.39
C = 19.39-138.39 = 37019.39
DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:
n+12n-3
2n+34n+8
3n+25n+3
Bài 2: Chứng minh rằng: 
Bài 3: Cho A =1 + 12+ 13+ 14++ 1100
Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đề...
Từ (1) và (2) => đpcm
Bài 7: Tổng 150+ 151++ 199 bằng phân số ab. Chứng minh rằng a chia hết cho 149.
Bài tập tự luyện:
Bài 8: Cho . Chứng minh: 
Ta có: 2(2n+1)2 < 22n.(2n+2) = 12n - 12n+2
Thay n = 1, 2, 3, , 1003
Ta có: A < 12 - 12008 = 10032008 (đpcm)
Bài 9: Cho . Chứng minh: 
Ta có: 142 < 13.4 ; 162 < 15.6 ;  ; 120062 < 12005.2006
B = 142 + 162 + + 120062 < 13.4 +15.6 + + 12005.2006
Bài 10: Cho . Chứng minh C > 48
C có 49 số hạng
Ta có: C – 49 = -(1 - 34 +...(đpcm).
Bài 12: Cho . Chứng minh 
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét: 
11.2 - 12.3 = 21.2.3 ; 12.3 - 13.4 = 22.3.4; ; 118.19 - 119.20 = 218.19.20
Tổng quát: 1n.(n+1) - 1(n+1).(n+2) = 2n.n+1.(n+2)
Do đó: 2A = 21.2.3 + 22.3.4 + + 218.19.20 
= 11.2 - 12.3 + 12.3 - 13.4 ++ 118.19 - 119.20 
= 11.2 - 119.20 = 189380 
A = 189760 < 190760 = 14 (đpcm)
Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > ...ng đó các tử đều lẻ, các mẫu đều chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn, các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số tăng thêm, do đó:
C < 23.45.67 ..200201 (2)
Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được:
C2 < (12.34.56 ..199200).(23.45.67 ..200201)
Vế phải của bất đẳng thức trên bằng 1201
Vậy C2 < 1201 (đpcm)
DẠNG 4: TÌM X
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm x, biết rằng: 15.8+ 18.11+ 111.14++ 1x.x+3= 1011540 
ó