Giáo án dạy thêm Toán 6 (Kết nối tri thức) - Chuyên đề: Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC (LỚP 6)
Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA
Phương pháp:
So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại
Bài 1: Chứng minh rằng: 
HD:
Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:
Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn.
Bài 2: Chứng minh rằng:...i chẵn, nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa hai liên tiếp như sau :
=>
Bài 5: Chứng minh rằng: 
HD :
Nhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A
Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể tính được,
Ta tính tổng A như sau: 
Sau đó lấy 2A trừ A theo vế và nhóm các phân số có cùng mẫu ta được : 
, đặt và tính tổng B theo cách như trên ta được : , thay vào A ta được : 
Bài 6: Chứng minh rằng: 
...o A ta được :
	(1)
	Mặt khác : 	(2)
Từ (1) và (2) ta được ĐPCM
Bài 14: Chứng minh rằng: 
HD :
	Tính tổng A , ta được : , Đặt tổng trong ngoặc bằng B
Bài 15: Chứng minh rằng: 
HD :
	Ta có : 
Bài 16: CMR : 
HD :
	Ta có : 
Bài 17: Chứng minh rằng: 
HD :
	=>
Bài 18: Chứng minh rằng: 
HD :
	=>
Bài 19: Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên
HD :
	Tính nên M 0 vậy M không có giá trị nguyên
Bài 20: Chứng minh rằng: 
HD :
Bài 21: Chứng minh rằng: 
HD :
	A
Bài 22: Chứng ...t khác: , , 
Tương tự như vậy:
Bài 33: CMR: CMR : 
HD:
Ta có : vậy 
Bài 34: CMR: > 48
HD:
Bài 35: Cho , CMR: 
HD: 
CMR: =>
TH1: 	TH2: 
Bài 36: CMR : 
Bài 37: CMR: 
HD:
	Xét số hạng tổng quát: 
	Do đó: 
	Với n=2500 ta có: 
Bài 38: Chứng minh rằng: 
HD:
Bài 39: Chứng minh rằng: 
HD:
Bài 40: CMR: 
Bài 41: CMR: 
Bài 42: Chứng minh rằng: A = 
HD:
	Dùng công thức tính tổng theo quy luật S = 1 + a + a2 + a3 + .+ an để tính tổng rồi so sánh.
	Ta có: 3A = 
	Nên 3A - A = 1...1 + 201272 
	 B = 201273 - 1. 
	So sánh A và B.
HD:
	Ta có 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +  + 201271 + 201273
	Lấy 2012A – A = 201273 – 1
	Vậy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 1.
Bài 46: Chứng minh 
HD:
	Đặt A = ; B = 
	32A = => 32A – A = 8A = 4 
	Đặt C = => 32C – C = 
	=> 8C C 
	=> 8A < 4 + 2. = 
	Làm tương tự với biểu thức B, ta có 8B < 4
	=> 8A – 8B = 
Bài 47: Chứng minh rằng: A = + ... + - + ... + - < 0,1
HD:
A = + ... + - + ... + - 
...y vào (3) ta có: S=2--<2
Bài 50: Cho B = . Chứng minh B < 100
HD:
	B = 
	=> B – 98 = 
	 (Dạng tổng quen thuộc)
	=> 3(B – 98) = 1 
	=> 3(B – 98) – (B – 98) = 1 - 
	=> 2(B – 98) = 
Bài 51: Cho 
So sánh S với 
HD:
 Áp dụng vào bài toán với m Î {2; 2 , ., 2 } và 
k Î { 2005, 2005 , } ta có:
Tương tự với các số hạng tiếp theo, sau đó thực hiện tính tổng
Bài 52: Cho B = . Chứng minh 
HD:
	B = 
	4B = 
	=> 4B – B = 3B = 
	=> B = 
Bài 53: Cho . Chứng minh 
HD...t; S + A < 
	Mà S 2S < S + A < 
	=> 
Bài 58: Cho . Chứng minh: 
HD:
	Xét 2
	Áp dụng 
	=> 2B 
Bài 59: Cho . Chứng minh: 
HD:
	=> A < 
Bài 60: Cho . Chứng minh: 
HD:
Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN
Phương pháp:
Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường
Bài 1: CMR: 
HD:
Bài 2: CMR: 
HD:
Bài 3: CMR: 
HD:
	 hoặc ...50 ngoặc)
, lúc này ta sẽ so sánh tất cả với chung 1 phân số đầu hoặc cuối,
TH1: Ta chứng minh thì ta có: 
	(1)
TH2: Ta chứng minh ta có:
	(2)
	Từ (1) và (2) => ĐPCM
Bài 10: Chứng minh rằng: 
HD:
	Nhận thấy tổng chính là tổng bài 1
	Nên ta chứng minh được , mà 
Bài 11: Cho Chứng minh rằng: 
HD :
	Thấy rằng tổng A có 60 số hạng 
TH1: Ta chứng minh bằng cách nhóm 2 số một ngoặc thông thường
	Ta có: (30 ngoặc)
TH2: Tuy nhiên để chứng minh , nếu chúng ta làm như trên thì sẽ không ...:
	Tổng A có 50 số hạng 
	Ta có: (25 ngoặc)
	(1)
	Mặt khác: 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
Bài 16: Cho , Chứng minh rằng: 1< A <2
HD:
	Tổng A có 60 số hạng: (30 ngoặc)
	Mặt khác: 
Bài 17: Chứng minh rằng: 
HD:
Nhận thấy các mẫu của tổng A là bình phương cảu các số tự nhiên liên tiếp, còn tử số kém mẫu số là 1
	nên ta tách A như sau:
	Mà 
Bài 18: Chứng minh rằng: 
HD :
Nhận thấy tổng A có phân số cuối có dạng , nên muốn Chứng minh tổng A lớn hơn 1 số ta nhóm sao cho phân số...
HD :
Bài 24: Chứng minh rằng: 
HD :
	, có số hạng
	 vậy A>1
Bài 25: Chứng minh rằng: 
HD:
	Tổng này là 1 trường hợp của bài 15: Áp dụng cách làm bài 15 ta có:
Bài 26: Chứng minh rằng: 
HD:
	Tương tự tổng này có dạng của bài 15, nên ta có:
Bài 27: Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
Bài 28: CMR luôn tồn tại số tự nhiên n để 
HD:
	Chọn 
Bài 29: CMR: 
HD:
Bài 30: CMR: 
Bài 31: CMR: >
HD:
=
Bài 32: CMR: 
Bài 33: CMR: 
Bài 34: Cho A =. So sánh A và 2007
HD:
	Làm xuất hiệ