Giáo án dạy thêm Toán học 6 - Chủ đề 3.4: Bội và ước của một số nguyên

CHỦ ĐỀ 3.4. BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa 
Với và Nếu có số nguyên sao cho thì ta ta có phép chia hết (trong đó ta cũng gọi là số bị chia, là số chia, là thương). Khi đó ta nói chia hết cho , kí hiệu là .
Khi ( , ) ta còn gọi là bội của và là ước của .
2. Nhận xét
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và là ước của mọi số nguyên.
3. Tính chất
Có tất cả các tính chất như trong tập .
- Nếu chi...ột số chia hết cho .
II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1. Tìm bội và ước của số nguyên
I. Phương pháp giải
- Tập hợp các bội của số nguyên a có vô số phần tử và bằng 
- Tập hợp các ước số của số nguyên luôn là hữu hạn.
Cách tìm:
Trước hết ta tìm các ước số nguyên dương của phần số tự nhiên (làm như trong tập số tự nhiên), chẳng hạn là Khi đó cũng là ước số của a. Do đó các ước của a là , . 
Như vậy số các ước nguyên của gấp đôi số các ước tự nhiên của nó.
- Số ước nguyên dương của số là 
II. Bài t...ài 5. Các số có 2 chữ số là ước của 60 là: 
Lời giải 
Đáp án: C 
Bài 6. Hãy tìm các số và 
Lời giải 
Đáp án: A 
B. TỰ LUẬN
Bài 1. Tìm năm bội của: .
Lời giải 
Cả 3 và -3 đều có chung các bội dạng ( ), nghĩa là: 
Chẳng hạn, năm bội của 3 và – 3 là :.
Bài 2. Tìm năm bội của 2 và -2.
Lời giải 
Muốn tìm một bội của 2, (-2) ta nhân 2, (-2) với một số nguyên nào đó. Chẳng hạn:
Năm bội của 2 là : 
Năm bội của -2 là :.
Tổng quát: Các bội của 2 và -2 có dạng là với : 
Bài 3. Tìm các bội ...       
                          hay          
Các ước nguyên dương của 36  là :
Tất cả có 9 ước  nguyên dương là:  .
Tập hợp tất cả các ước nguyên của 36 là :
Bài 7. Tìm tất cả các ước của 12 mà lớn hơn – 4.
Lời giải 
Các ước của 12 là: 
Các ước của 12 mà lớn hơn – 4 là .
Bài 8. Tìm các số tự nhiên sao cho: là ước của 28 
Lời giải 
Ta có: .
Vì , ta có bảng sau: 
Vì là số tự nhiên nên 
Bài 9. Tìm các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40.
Lời giải 
Các bội của -13 là 
Các bộ...ong khoảng từ đến 24.
Lời giải
a) Các bội số của đều có dạng ().
Chẳng hạn chọn năm bội số của là: ( ứng với lần lượt bằng ).
b) Các bội số của –12 có dạng 12.k (). Cần tìm sao cho:.
Tức là: , chọn 
Vậy các bội của nằm trong khoảng từ đến 24 là
Bài 14. Tìm tất cả các ước của:
a) ;	b) ;	c) 12.
Lời giải
a) Các ước tự nhiên của 3 là 1, 3. Do đó các ước của là 
b) Các ước tự nhiên của 25 là . Do đó các ước của 25 là 
c) Các ước tự nhiên của 12 là . Do đó các ước của 12 là 
Nhận xét:
Số... 
 Với suy ra hay 
 Với suy ra hay 
 Với suy ra hay 
 Với suy ra hay 
 Với suy ra hay 
Vậy 
d) chia hết cho 17, nên là bội của 17. Do đó ().
Vậy ().
III. Bài tập có hướng dẫn
Bài 1. 
a) Tìm bốn bội của .
b) Tìm các bội của , biết rằng chúng nằm trong khoảng từ 100 đến 200.
HD
a) Chẳng hạn là: –18; –9; 0; 9
b) 120; 144; 168; 192
Bài 2. Tìm tất cả các ước của:
a) ;	b) 49;	c) .
HD
a) 
b) 
c) 
Bài 3. 
a) Tìm tập hợp ;
b) Tìm tập hợp .
HD
a) suy ra 
 b) suy ra 
Bài 4. Tìm ...a hết của số nguyên
I. Phương pháp giải
Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho số nguyên a;
- Nếu A có dạng tích thì cần chỉ ra m (hoặc n, hoặc p) chia hết cho a. Hoặc m chia hết cho n chia hết cho , p chia hết cho trong đó 
- Nếu A có dạng tổng m + n + p thì cần chỉ ra m, n, p cùng chia hết cho a, hoặc tổng các số dư khi chia m, n, p cho a phải chia hết cho a.
- Nếu A có dạng hiệu m – n thì cần chỉ ra m, n chia cho a có cùng số dư. Vận dụng tính chất chia hết để làm bài toán về tìm điề...31. Điều ngược lại có đúng không?
Lời giải
Ta có: (*)
Do đó và từ (*) suy ra 
Mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra 
Ngược lại, nếu , mà từ (*) suy ra 
Vậy điều ngược lại cũng đúng.
Ta có thể phát biểu bài toán lại như sau:
“Cho là các số nguyên. Chứng minh rằng chia hết cho 31 khi và chỉ khi chia hết cho 31”.
Bài 4. Tìm số nguyên sao cho:
a) chia hết cho 	b) là ước số của 
Lời giải
a) Nhận thấy 
Do nên khi và chỉ khi 
Suy ra hay Vậy 
b) Nhận thấy 
Do nên khi và chỉ khi 
Su...thấy nên:
Nếu thì , mà nên 
Nếu thì , mà nên 
Bài 4. Tìm số nguyên sao cho:
a) chia hết cho ;	b) là ước số của 
HD
a) nên do đó 
Vậy 
 b) Do nên 
Do đó 
Vậy 
Bài 5. Tìm cặp số nguyên sao cho:
a) 	b) 	c) 
HD
a) Vì 5 = 5.1 = nên ta có các trường hợp sau:
1) và và 
2) và và 
3) và và 
4) và và 
b) 
c) 
Do đó tìm được .
Bài 6. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho 20x + 10y = 2010.
HD
Từ điều kiện đề bài suy ra 
201 là số lẻ và 2x là số chẵn, suy ra y là số lẻ. Khi đó y ...cho :
a) chia hết cho; 	b) chia hết cho.
Lời giải 
a) Ta có: .
Ta có: chia hết cho. 
Do đó chia hết cho khi 5 chia hết cho , tức là là ước của 5. 
Ước của 5 gồm các số . 
Ta có bảng sau:
Suy ra 
b) 
Ta có: chia hết cho 
Do đó chia hết cho khi 7 chia hết cho 
Do đó là ước của 7.
Ước của 7 gồm các số . 
Ta có bảng sau:
Suy ra:.
Bài 3. Tìm các số nguyên thoả mãn:
Lời giải 
a) Ta có 
nên khi , tức là là ước của 3. 
Vì , ta có bảng sau:
ĐS :.
b) HD: Ta có 
nên khi , tức là