Kỳ thi chọn HSG vòng huyện Môn Toán 9 NH 2021-2022 Phòng GD&ĐT Huyện Hòa Bình (Kèm hướng dẫn chấm)

 UBND HUYỆN HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2021 -2022 
 MÔN : TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 LỚP : 9 
 (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian : 150 phút 
 (Không kể thời gian giao đề) 
 ĐỀ 
Câu 1: (5 điểm) 
 a) Chứng minh rằng A = (2n -1)(2n +1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . 
 b) Chứng minh rằng B = n6 n4 2n3 2n2 với n N và n > 1 không phải là số 
 chính phương. 
Câu 2: ( 5 điểm ) 
 a) Giải phương trình (2x 1) x x2 2 
 xy 12
 x y 5
 yz 18
 b) Giải hệ phương trình 
 y z 5
 zx 36
 z x 13
Câu 3: ( 5 điểm ) 
 a) Tìm GTNN của biểu thức : C x2 2 x y 2 4 y 7 
 b) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng : 
 a b ab 5
 ab a b 2
Câu 4: ( 5 điểm ) 
 Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (O) 
sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của điểm O qua 
A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN 
cắt đường tròn tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại 
F. 
 a) Chứng minh các điểm A, E, F thẳng hàng. 
 b) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi. 
 c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn 
nhất. 
 -----Hết----- 
 UBND HUYỆN HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2021 -2022 
 MÔN : TOÁN 
 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) LỚP : 9 
 Thời gian : 150 phút 
 HƯỚNG DẪN CHẤM 
 Câu 1:( 5,0 điểm) 
 a) (2,5đ) Chứng minh rằng A = (2n -1)(2n +1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n 
 Theo giả thiết n là số tự nhiên nên 2n 1, 2n , 2n 1 là ba số tự nhiên liên tiếp (0,75đ) 
 Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên: 
 (2n 1).2n.(2n 1) chia hết cho 3 (0,75đ) 
 Mặt khác (2n ,3) 1 (0,5đ) 
 nên (2n 1).(2n 1) chia hết cho 3 (0,25đ) 
 Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n. (0,25đ) 
 b) (2,5đ) Chứng minh B n6 n 4 2 n 3 2 n 2 với n N , n>1 không phải là số chính 
 phương. 
 Ta có: 
 6 4 3 2 2 4 2
 B = n – n + 2n + 2n = n (n – n + 2n + 2) (0,25đ) 
 2 2 2 3 2 
 = n [n (n–1)(n+1) + 2(n+1)] = n [(n+1)(n - n + 2)] (0,5đ) 
 2 3 2 2 2 2
 = n (n+1)[(n +1) – (n -1)] = n (n+1) (n -2n+2) (0,5đ) 
 2 2 2
 Do n - 2n + 2 = (n-1) + 1 > (n-1) (0,25đ) 
 2 2 2 
 Mặt khác n - 2n + 2 = n – 2(n-1) < n (0,25đ) 
 2 2 2
 (n-1) < n - 2n + 2 < n (0,25đ) 
 2 
 n - 2n + 2 không phải là một số chính phương (0,25đ) 
 Vậy: B = n6 n4 2n3 2n2 với n N và n > 1 không phải là số chính phương. (0,25đ) 
 Câu 2: ( 5 điểm ) 
 a) (2,5 điểm) 
 Giải phương trình (2x 1) x x2 2 
 ĐK: x 0 (0,25đ) 
 Phương trình đã cho tương đương với: 
 2
 x 2 2x x x 0 (0,25đ) 
 2
 x 2x x x 2 0 (0,5đ) ( x 2)(x x 1) 0 (0,5đ) 
 x 2 0
 x x 1 0
 (0,5đ) 
 x 4
 x 1
 (0,25đ)
 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1; x = 4 (0,25đ) 
b) (2,5 điểm) 
 xy 12
 x y 5
 yz 18
 Giải hệ phương trình 
 y z 5
 zx 36
 z x 13
 Ta có: 
 a) Do x,y,z 0 nên 
 xy 12 x y 5 1 1 5
 x y 5 xy 12 y x 12
 yz 18 y z 5 1 1 5
 y z 5 yz 18 z y 18
 zx 36 z x 13 1 1 13
 z x 13 zx 36 x z 36 (1đ) 
 1 1 1 19 1 1
 x y z 36 
 x 4
 1 1 1 1 
 (1đ) 
 x 4 y 6
 1 1 1 1
 y 6 z 9
 x 4
 y 6 (0,25đ) 
 z 9
 Vậy hệ pt có nghiệm là (4;6;9) (0,25đ) 
Câu 3: ( 5 điểm ) 
 2 2
a) (2,5 điểm) Tìm GTNN của biểu thức : C x 2 x y 4 y 7 C (x2 2 x 1 ) (y 2 4 y 4 ) 2 (1,0ñ)
 C = x 1 2 y 2 2 2 2 (1,0ñ) 
 x 1
 Vaäy MinC = 2 (0,5ñ)
 y 2
 b) (2,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng : 
 a b ab 5
 ab a b 2
 Ta có: 
4 a b ab 3 a b a b ab 
 (0,5ð) 
 4aba b 4 ab 4 ab a b 
 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương 
a b 2 ab 2 a b 4 ab (0,25ð) 
 2 a b 3.2(a b )
 1 3 (0,25ð) 
 4ab 4 ab
 3(a b ) 3
 (1) (0,25ð)
 4 ab 2
Mặt khác 
 a b ab( a b ) ab 1
 2 2 1 (2) (0,5ð) 
4aba b ( a b )4 ab 4
Cộng (1) với (2) theo vế ta được 
3 a b a b ab 3
 +1 (0,25ð) 
 4ab 4 ab a b 2
a b ab 3
 1 (0,25ð) 
 ab a b 2
 a b ab 5
 Vậy (0,25đ) 
 ab a b 2
Câu 4: ( 5 điểm ) 
Vẽ hình đúng ( 0,25đ) F
 M
C B
 A O
 E
 N
a) Ta có NM  BF và BC  NF (0,25đ) 
 Do đó A là trực tâm của BNF FA  NB (0,25đ) 
 Mà EA  NB nên A, E, F thẳng hang (0,25đ) 
b) Ta có CAˆN MAˆB (0,25đ) 
 Do đó CAN đồng dạng MAB (0,5đ) 
 AN AC
 (0,5đ) 
 AB AM
 2
 AM .AN AB.AC 2R ( không đổi) (0,25đ) 
 2
c) Ta có: BA BC (0,5đ) 
 3
 Do đó A là trọng tâm của BNF C là trung điểm của NF (1) (0,25đ) 
 Mặt khác CNA đồng dạng CBF (0,5đ) 
 CN CA
 CN.CF BC.AC 3R2 (0,25đ) 
 BC CF
 Ta có: NF = CN + CF 2 CN.CF 2R 3 (không đổi) (0,5đ) 
 Nên NF ngắn nhất CN = CF C là trung điểm của NF (2) (0,25đ) 
 Từ (1), (2) suy ra A là trọng tâm của BNF NF ngắn nhất. (0,25đ) 
 -----Hết----- 
Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó