Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Bài tập hình học

37 BÀI HÌNH ĐẦU TIÊN – DỰ ÁN 186 BÀI HÌNH ÔN THI VÀO 10 VÀ BDHSG
Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , điểm thuộc cung nhỏ . Kẻ dây vuông góc với . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh rằng song song với 
Giải
Gọi là giao điểm của và .
 đi qua trung điểm dây (Liên hệ đường kính và dây).
 là đường trung trực của .
 (Tính chất đường trung trực).
 (Liên hệ dây và cung).
Theo tính chất góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn ta có:
.
 (Vì ).
.
 Tứ giác là tứ giác...và dây cung và góc nội tiếp chắn cùng chắn). là góc chung.
Þ (g.g).
Þ .
b) Ta có: cân .
 (góc ngoài bằng góc đối trong của tứ giác nội tiếp).
 (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn và góc nội tiếp cùng chắn ).
Þ .
Þ Tứ giác nội tiếp (hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh).
c) Xét tứ giác nội tiếp có: 
(tổng hai góc đối bằng ) .
Cần CM: .
Thật vậy: (chứng minh phần b).
 (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn và góc nội tiếp chắn cùng ).
.
 .
Từ , ta được:
 (trong cùng phía)
B...h .
 Tâm trung điểm của đoạn .
b) Tứ giác nội tiếp nên:
Mà ( là phân giác của ) 	 
Từ và 
 thuộc đường trung trực của 
Mặt khác thuộc đường trung trực của 
Từ là đường trung trực của .
c) Ta có: là góc ngoài của tam giác nên 
Ta lại có:
 (So le trong)
 (hai cạnh tương ứng)
Mà (Chứng min trên) 
Mặt khác và 
Xét tứ giác có: 
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên nội tiếp.
Bài 4: Cho đường tròn ; đường kính ; tiếp tuyến .Trên tiếp tuyến lấy điểm sao cho cắt đường tròn tại ; tia phân ... nên 
c)Do 
Xét tam giác và tam giác ta có : 
 nt ( góc ngoài bằng góc trong ở đỉnh đối diện )
d)Do ( đồng vị ) 
Do là hình thoi khi và chỉ khi hay khi đó tam giác là tam giác đều nên 
Trong tam giác vuông ( vuông ở ): 
Bài 5:
Cho ba điểm thẳng hàng ( nằm giữa và ).Vẽ đường tròn đường kính ; vẽ tiếp tuyến .Từ tiếp điểm vẽ đường thẳng vuông góc với ; đường thẳng này cắt tại và cắt đường tròn tại .Đặt 
a)Chứng minh 
b)Chứng minh là phân giác góc 
c)Từ kẻ đường thẳng song song .Gọi lần l...goài của tam giác 
Vậy nên ta có : và ( đpcm )
Bài 6: Cho đường tròn ; một dây cung ; một điểm nằm ngoài đường tròn và nằm trên tia .Từ điểm chính giữa của cung lớn kẻ đường kính của đường tròn cắt dây tại .Tia cắt đường tròn tại điểm thứ hai .Các dây và cắt nhau tại 
a)Chứng minh tứ giác nội tiếp
b)Chứng minh : 
c)Chứng minh là phân giác góc ngoài tại đỉnh của tam giác 
d)Giả sử ba điểm cố định ; chứng minh khi đường tròn thay đổi nhưng vẫn đi qua thì đường thẳng luôn đi qua một điểm cố đ...ố định .Ta có đpcm 
Bài 7. Cho nửa đường tròn tâm đường kính và điểm nằm chính giữa cung . Trên cung lấy điểm . Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Gọi là hình chiếu của trên . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác nội tiếp.
b) là tia phân giác của .
c) .
Lời giải
a) Ta có: ; (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác có: 
Hay 
Mà và là hai góc đối nhau do đó tứ giác nội tiếp (đpcm).
b) Ta có: (do tứ giác nội tiếp)
Hay 
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
... tròn)
Xét tứ giác có: 
Mà và là hai góc đối nhau do đó tứ giác nội tiếp (đpcm).
b) Ta có: (do tứ giác nội tiếp)
Hay 
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
 là tia phân giác của (đpcm).
c) Chứng minh tương tự ta có là tia phân giác của 
Ta có hay .
 do đó tứ giác nội tiếp (đpcm).
Bài 9. Cho đường tròn hai đường kính và vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng lấy điểm , đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Đường thẳng vuông góc với tại cắt tiếp tuyến tại với đường tròn ở điểm .
... đổi.
d) Ta có 
Lại có tứ giác là hình bình hành (c/m câu b) không đổi
 luôn cách một khoảng bằng không đổi
 thuộc đường thẳng song song với và cách một khoảng không đổi.
Vậy khi di động trên đoạn thẳng thì chạy trên một đường thẳng cố định.
Ta suy ra kết quả là tiếp tiếp tại của 
Bài 10: Cho tam giác nội tiếp trong đường tròn và có . Tính độ dài theo .
Gọi là điểm di động trên cung nhỏ ( khác và ) .tia cắt tại .Chứng minh tích không đổi.
Tìm vị trí của trên c...à cố định nên thuộc đường hẳng cố định.
Bài 11 : Cho đường tròn đường kính , dây vuông góc với tại .Trên cung nhỏ lấy điểm ( khác và ) đường thẳng cắt tại 
Chứng minh tứ giác nội tiếp;
Chứng minh suy ra ;
Gọi giao điểm của và là , với là chứng minh .
Lời giải
nên tứ giác nội tiếp 
Ta có : ( HTL trong tam giác )
Ta có : ; mà nên 
 suy ra nội tiếp .
Bài 12: Cho nửa đường tròn đường kính . Gọi M là điểm chính giữa cung là điểm thuộc cung ... 
suy ra: ( Không đổi) 
Do đó tích không đổi.
b) + Xét và có: ( theo câu a)
	 ( cùng phụ )
Suy ra: 
c) Ta có: ( Hai góc đối đỉnh), sđ ( hai góc nội tiếp cùng chắn ), ( theo câu b) . Do đó : cân tại I 
Mặt khác: , vuông tại P) mà 
Suy ra : cân tại . Từ (1), (2) ta có : 
Vậy là trung diểm của CD.
 Bài 13: Cho nửa đường tròn đường kính , một điểm cố định thuộc đoạn ( khác và ) đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt nửa đường tròn tại trên cung lấy điểm bất kì