Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 6: Phương pháp đánh giá để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2+ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. KHÁI NIỆM:
Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: ( thừa số với ).
2. QUI ƯỚC: và 
: Bình phương của 
: Lập phương của 
Các chữ cái là biến số cần đưa vào mathtype
3. CÁC PHÉP TÍNH LŨY THỪA:
+ Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: 
+ Chia hai luỹ thừa cùng cơ số: 
+ Luỹ thừa của một thương: 
+ Luỹ thừa của luỹ thừa: 
+ Luỹ thừa tầng: 
+ Luỹ thừa với số m...i , ta có: 
Từ (1); (2) , mà 
Vậynhận các giá trị nguyên là: 
Bài 2: Tìm số nguyên dương biết rằng:
a) 	
b) 
Phân tích: số cần tìm đóng vai trò số mũ trong lũy thừa, phần cơ số đã biết ta cần phân tích về lũy thừa có cùng cơ số để có thể so sánh được phần số mũ với nhau.	
Lời giải
a) Ta có: 
mà 
b) Ta có: 
mà 
Bài 3: Tìm số tự nhiên n, biết rằng:
a) 	
b) 	
Phân tích: Nhận xét tương tự bài 1 và bài 2.
Câu a phân tích đưa về lũy thừa có cùng cơ số để so sánh số mũ.
Câu b phân tích...khó thu gọn ở câu 4. Hướng dẫn cách nhẩm nghiệm và đánh giá so sánh để làm được theo cách 2 ở câu a.	
Lời giải
a) 
Cách 1.
Vậy là giá trị cần tìm.
Cách 2.
Theo đề, số tự nhiên 
+ TH1: 
Ta có: 
 không thỏa mãn
+ TH2: (thỏa mãn)
Vậy là giá trị cần tìm.
b) 	
Ta có:
+ Nếu (thỏa mãn)
+ Nếu (không thỏa mãn)
+ Nếu (không thỏa mãn)
Vậy là giá trị cần tìm.
Bài 5: Tìm số tự nhiên thỏa mãn
a) 	
b) 	
c) 
Phân tích: Câu a các lũy thừa không cùng cơ số nên không thu gọn biến đôi được biể...y là giá trị cần tìm.
c) 
Ta có: 
+ TH1: 	 
mà 
 (không thỏa mãn)
+ TH2: 
mà 
 (loại)
Vậy không tồn tại giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài
Bài 6: Tìm số tự nhiên biết 
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị lần lượt từ và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá.
Lời giải
+ TH1: 
 không thỏa mãn 
+ TH2: 
 không thỏa mãn
+ TH3: 
 thỏa mãn
Vậy là giá trị cần tìm.... 
+ Nếu thay vào (1) ta được: loại trường hợp 
+ Nếu , thay vào (1) ta được: 
+ Nếu (loại)
Vậy 
Bài 8: Tìm thỏa mãn và 
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thấy 
Chia các trường hợp của để tìm 
Lời giải
Với , mà , nên ta có: 
TH1: 
Với , từ ta có 
Ta có vế trái của (2) không chia hết cho 3 và vế phải của (2) chia hết cho 3 nên loại
TH2: 
Với , từ ta có 
Ta có 
+ Nếu thay vào ta được (thỏa mãn)
+ Nếu thay vào ta được (l...Mà 
+ Nếu 
Ta có VT(*) là số lẻ và VP(*) là số chẵn loại trường hợp , 
do vậy , thay vào (*) ta được:
+ Nếu còn là số chẵn nên loại 
Do đó 
+ Nếu là số lẻ và là số chẵn loại 
Từ (***) 
Vậy 
Bài 10: Tìm các số nguyên dương sao cho 
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị lần lượt từ và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được đánh giá. Để dễ dàng đánh giá thì ta biến đổi một vế không chứa bằng cách chia ...
+ Nếu (thỏa mãn)
+ Nếu thì chia hết cho 9, mà 317 chia cho 9 dư 2 và nên chia 9 dư 2
Điều này mẫu thuẫn vì chia 9 dư 0 hoặc 4
Vậy thỏa mãn bài toán
Bài 12: Tìm , biết 
a) 	
b) 
Phân tích: 
Câu a các lũy thừa có cơ số khác nhau, nhưng đều đưa được về lũy thừa cơ số . Dùng công thức lũy thừa đưa về cùng cơ số để so sánh.
Câu b các lũy thừa có cùng một cơ số dùng phép biến đổi đưa về cùng lũy thừa số sau đó so sánh để tìm ra giá trị của .
Lời giải
a) Theo đề, ta có:
Mà 
b) Ta có: 
Mà...cùng cơ số , dề dàng tìm được .
Không biến đổi được về cơ số 5, ta so sánh được .
Theo tính chất bắc cầu ta có: 
Từ đó tìm được các số tự nhiên 
Lời giải
Ta có: 
Vì là các số tự nhiên 
Bài 15: Tìm số tự nhiên sao cho: 
Phân tích: là số tự nhiên có 3 chữ số nên 
Từ đó ta có bẳng giá trị chia cá trường hợp và tìm được số tự nhiên a,b.
Lời giải
Vì là số tự nhiên có ba chữ số nên 
Ta có bảng: 

5
6
7
8
9

125
216
343
512
729

/
/
3
/
/

/
/
4
/
/
Vậy .
Bài 16: Tìm số tự nhiên sao cho: ...n được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x, y lần lượt từ 1,2,3,4 và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá.
Lời giải
+ Với thì 
+ Với , ta có là số chẵn, là số lẻ với mọi : vô lí
Vậy 
Bài 18: Chứng minh rằng: 
Phân tích: Nhận thấy mẫu đều là các số chẵn chia hết cho ,khi bình phương lên xuất hiện ,ta biến đổi đặt được ra ngoài làm thừa số chung. Để thì biểu thức còn lại so sánh . 
Bằng tính chất của phân số, ta so sánh biểu thức ... giải
+ Với , ta có: 
 (thỏa mãn )
+ Với mọi , , ta có: vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ vô lí
Vậy 
Bài 3: Tìm các số tự nhiên thỏa mãn 
(Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Thạch Thành năm học 2018 – 2019)
Lời giải
Ta có: 
Vì là số lẻ nên là lẻ cùng là số lẻ 
+ Với , từ 
Vì chia 3 dư 1 và nên 
Từ 
 (thỏa mãn)
+ Với chẵn, mà từ ta có là số lẻ
 là số lẻ là số chẵn
Vì là số chẵn nên cũng là số chẵn, trái với (2) vô lí với giả thiết
Vậy 
Bài 4: Tìm các số tự nhiên thỏa mãn 
(Trích đ