Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 2: Dùng các tính chất chia hết và số dư để chứng minh một số không phải là số chính phương

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 2: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ SỐ DƯ ĐỂ CHỨNG MINH
MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho .
Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 
Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 
Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho .
Tổng quát: Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho ( là số nguyên tố, )
* Phương pháp chứng minh một số không là số nguyên tố bằng quan hệ ...hết cho số nguyên tố nhưng không chia hết 
Bài 1: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là thì số đó không là số chính phương?
Lời giải
Số có tổng các chữ số là thì số đó chia hết cho nhưng không chia hết cho , do đó số có tỏng các chữ số là không thể là số chính phương.
Bài 2: Tổng các chữ số của một số chính phương có thể là không?
Lời giải
Tổng các chữ số của một số là thì số đó chia hết cho nhưng không chia hết cho , nên không tồn tại số chính phương có tổng các chữ số là .
Bà... Ta thấy số chia hết cho (vì chữ số tân cùng là ) nhưng không chia hết cho (vì hai chữ số tận cùng là ).
Do đó: số không là số chính phương.
Cách 2: Ta thấy số chia hết cho (vì chữ số tân cùng là ) nhưng không chia hết cho (vì hai chữ số tận cùng là ).
Do đó: số không là số chính phương.
Cách 3: Số tận cùng có lẻ chữ số 0.
Bài 6: Các tổng sau có phải là số chính phương không?	
a) 	b) 	
Lời giải
a, Ta có: chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho nên không là số chính phương.
b, Ta có: có ... tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
Bài 9: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ đến thành một số . Chứng minh không là số chính phương.
Lời giải
Ta có: 
Ta có tổng các chữ số của A là: 
Ta thấy: 
Do đó không là số chính phương.
Bài 10: Số có phải là số chính phương không?
Lời giải:
Ta có: 
Suy ra: 
Ta thấy: không là số chính phương
Bài 11: Viết liên tiếp từ đến được số . Số có thể có ước được không?
Lời giải
Giả sử số có ước.
Vì số lượng các ước của là (là số lẻ) nên là số ...ận cùng là 06 hoặc 
 chia hết cho nhưng không chia hết cho .
 không là số chính phương.
Vậy không phải là số chính phương.
DẠNG 2: Chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
Bài 1: Chứng minh rằng không là số chính phương.
Lời giải
Ta có: chứa thừa số nguyên tố có số mũ lẻ
Do đó: không là số chính phương
Bài 2: Chứng minh rằng số không là số chính phương.
Lời giải
Ta có nhưng không chia hết cho mà là số nguyên tố từ đó suy ra không là số chính phương. 
DẠNG 3: và ( : nguyên tố) không là số ...không là số chính phương
b. Chứng minh rằng với thì không là số chính phương 
Lời giải
a. chia 4 dư 3 nên không là số chính phương 
b. - không là số chính phương 
- không là số chính phương 
- không là số chính phương 
Bài 2: Chứng minh rằng một số có tổng các chữ số của nó là không phải là một số chính phương
Lời giải
Số chính phương khi chia cho chỉ có thể dư hoặc .
Số trên có tổng các chữ số là nên chia dư , vậy không phải là số chính phương.
Bài 3: Một số tự nhiên có tổng các chữ ...ài 5: Cho . Chứng minh rằng ; không là số chính phương.
Lời giải
+) Ta có: 
Suy ra: chia cho dư 
Do đó: không là số chính phương.
+) Ta có: và 
Suy ra: nhưng 
Do đó: không là số chính phương.
Bài 6: Gọi là tích của số nguyên tố đầu tiên . Chứng minh rằng các số ; ; không là số chính phương.
Lời giải
+) Ta thấy: nhưng 
 không là số chính phương.
+) Giả sử hay 
Ta có: lẻ suy ra lẻ nên (mâu thuẫn)
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy không là số chính phương.
+) Ta có: 
Vậy không là số ch...chia dư 
Vậy không là số chính phương.
Bài 9: Chứng minh không là số chính phương.
Lời giải
Ta có: chia hết cho nên chia hết cho 
 chia hết cho nên chia hết cho 
 chia hết cho nên chia hết cho 
 chia hết cho nên chia hết cho 
Suy ra: chia hết cho 
Mà: chia dư 
Do đó: chia dư 
Vậy C không là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh không là số chính phương.
Lời giải
Ta thấy: 
Tương tự , 
Mà chia dư nên 
Mà ta biết số chính phương không có dạng 
Do đó D không là số chính phương.
Bài ...ương.
Lời giải
Xét tổng các bình phương của số tự nhiên liên tiếp:
Chia thành nhóm, mỗi nhóm là tổng các bình phương của số tự nhiên liên tiếp
Do đó không là số chính phương.
Bài 14: Cho là tổng các bình phương của số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng không là số chính phương.
Lời giải
Xét tổng các bình phương của số tự nhiên liên tiếp:
Chia thành nhóm, mỗi nhóm gồm số tự nhiên liên tiếp. 
Suy ra: 
Do đó không là số chính phương. 
Bài 15: Chứng minh không phải là số chính phư... đó không là số chính phương.
DẠNG 5: Chứng minh có chữ số tận cùng là hoặc 
Bài 1: Chứng minh rằng các tổng sau có phải là số chính phương không?
a) 	 b) 	 
Lời giải:
b) Tổng có chữ số tận cùng là nên không là số chính phương
c) Ta có: có chữ số tận cùng là .
Nên có chữ số tận cùng là 
Vậy không là số chính phương.
Bài 2: Cho . Chứng minh rằng không phải là số chính phương.
Lời giải:
Ta có các số ; ; ; đều có chữ số tận cùng là .
Nên có chữ số tận cùng là .
Vậy không là số chính ph