Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề Hình học: Góc vuông trên đường tròn nội tiếp và bàng tiếp

Chuyên đề hình học
Góc vuông trên đường tròn nội tiếp và bàng tiếp
Người viết: Nguyễn Thanh Dũng
Trường THPT Chuyên Chu Văn An Lạng Sơn
Tính toán trên đường tròn nội tiếp, bàng tiếp.
Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp , 3 đường tròn bàng tiếp tương ứng với góc A, B, C. Tam giác ABC có các cạnh nửa chu vi . Bán kính đường tròn nội tiếp là , đường tròn bàng tiếp là .
a, Tính các đoạn tiếp tuyến đường tròn nội tiếp
b, Tính toán đoạn tiếp tuyến trên đường tròn bàng tiếp
Nhận xét : từ c... CA tại P, M, Q. Gọi S là giao điểm của MP và . Chứng minh rằng 
Chứng minh: Ta có lưu ý các tam giác BMP cân ở B nên và SC là phân giác ngoài góc C nên . 
nên tứ giác nội tiếp, nên .
Bài toán 3: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp, J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Gọi M là giao điểm của AJ và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR M là tâm đường tròn qua bốn điểm B, I, C, J.
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh tính chất quen thuộc của tâm nội tiếp: MB=MC=MI. Thật vậy, ta .... 
Giải: Theo bài toán cơ bản 1 thì ta có , nên ta có ZX=ZY, nên tam giác XYZ cân ở Z, hơn nữa , thế nên tam giác XYZ đều khi và chỉ khi tức là .
Bài 2: (VMO-2009) Cho hai điểm A,B cố định, một điểm C thay đổi sao cho không đổi. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC, BC tại D, E, F Các đường thẳng AI, BI cắt đường thẳng EF lần lượt tại M,N. a, CMR: đoạn thẳng MN có độ dài không đổi khi C thay đổi. b, CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua điểm cố định khi C thay đổi.
 Giải:... J là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác tiếp xúc với tại M, L, K. Gọi F là giao của ML là BJ, G là giao của KM và CJ. Đường thẳng AF, AG cắt đường thẳng BC lần lượt tại S, T . CMR: M là trung điểm của đoạn thẳng ST. 
Giải: Sử dụng bài toán cơ bản số 2, ta có , hơn nữa theo tính chất tiếp tuyến thì dễ thấy , thế nên các tứ giác AMLT và AMKS là hình thang, hơn nữa CM=CL và nên CA=CT tức là AMLT là hình thang cân, suy ra MT=AL. Hoàn toàn tương tự thì tứ giác AMKS là hình thang cân nên MS=AK. Mặt k...góc BI cắt (I) tại K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) tại L khác F. Gọi J là trung điểm KL.
a) Chứng minh D, I, J thẳng hàng.
b) Giả sử B, C cố định, A thay đổi sao cho tỷ số . Gọi M, N tương ứng là các giao điểm IE, IF với (I) (M khác E, N khác F). MN cắt IB, IC tại P, Q. Chứng minh đường trung trực PQ luôn qua 1 điểm cố định. (hd: sử dụng bài toán cơ bản 1)
Bài 3: (IMO Shortlist 2004- G7- RUS) Cho tam giác ABC, gọi X là điểm bất kì trên đường thẳng BC sao cho C nằm giữa B và X