Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề Phương tích và ứng dụng

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TÍCH VÀ ỨNG DỤNG
Nguyễn Quỳnh, Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
Đào Văn Lương, Chuyên Lào Cai
Hoàng Thông, Chuyên Lê Quý Đôn, Điện Biên
HÒA BÌNH, THÁNG 8 NĂM 2013
Trang
Phần A
Cơ sở lý thuyết
2
1.
Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
2
2.
Trục đẳng phương của hai đường tròn
3
3.
Tâm đẳng phương của ba đường tròn
5
Phần B
Ứng dụng phương tích giải một số bài tập hình học phẳng
7
1.
Các bài tập sử dụng tính chất của phương tích
7
2.
Các bà... có 
Định nghĩa 
Đại lượng không đổi trong Bài toán 1.1 được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O), kí hiệu PM/(O). Ta có:
.
Tính chất
Tính chất 1
Điểm nằm bên ngoài đường tròn khi và chỉ khi 
Điểm nằm trên đường tròn khi và chỉ khi 
Điểm nằm bên trong đường tròn khi và chỉ khi 
Tính chất 2
Trong mặt phẳng, cho đường tròn và một điểm nằm bên ngoài Qua kẻ cát tuyến và tiếp tuyến tới Khi đó 
Tính chất 3
Cho hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại ( không trùng ). Khi đó, ...g thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2).
Chứng minh 
Giả sử điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn đã cho.
Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm của O1O2. Ta có: 
Do H cố định, suy ra tập hợp các điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn là đường thẳng qua H và vuông góc với O1O2. 
2.2 Tính chất
Cho hai đường tròn (O1) và (O2). Từ định lý 2.1 ta có các tính chất sau:
Tính chất 1
Trục đẳng phương của hai đườn... 3 điểm đó thẳng hàng.
2.2.6 Tính chất 6
Nếu (O1) và (O2) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với chính 
là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không đồng tâm (O1) và (O2). Xét các trường hợp sau:
 Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó đường 
thẳng AB chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
 Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc...g của và là đường thẳng có phương trình
Tâm đẳng phương của ba đường tròn
Định lý và định nghĩa
Cho 3 đường tròn (C1), (C2) và (C3). Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn này hoặc trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm. Nếu các trục đẳng phương cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn. 
Chứng minh 
Gọi dij là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ci) và (Cj). Ta xét hai trường hợp sau.
a)Giả sử có một cặp đường thẳng song song, k...ương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng.
3.2.3 Tính chất 3:
Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau.
PHẦN B: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH 
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG
CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TÍCH
Bài tập 1.1 (S44 Mathematical Reflection MR2-2007)
Từ một điểm P nằm bên ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm AP và N ...ại điểm thứ hai C. Ta có
(không đổi vì A, (O) cố định). 
Suy ra 
Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định.
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định. 
Suy ra là hằng số nên điểm K cố đinh. Bài tập được chứng minh
Bài tập 1.3
Cho đường tròn (O) và dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O). Từ điểm E chính giữa cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt dây AB tại D. Tia CE cắt (O) tại điểm I. Cho A, B, C cố định, chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi...ại tiếp tam giác OHI luôn đi qua hai điểm cố định
 Lời giải
Hiển nhiên điểm I cố định. Do HOIK nội tiếp nên ta có 
(do tam giác AMO vuông tại M có MH là đường cao)
Ta lại có AM là tiếp tuyến của (O) nên 
2. CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
Bài tập 2.1
 (IMO 2013 Problem 4)
Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Cho W là một điểm tùy ý trên cạnh BC, khác với các điểm B và C. Các điểm M và N tương ứng là chân các đường cao hạ từ B và C. Kí hiệu là đường tròn ngoại tiếp tam...c BNHP nội tiếp nên từ đó PHZW là tứ giác nội tiếp hay HZ vuông góc với ZW (2)
Từ (1) và (2) suy ra X, Y, H thẳng hàng, điều phải chứng minh.
Bài tập 2.2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), Dựng hai hình thoi AEDF và BMCN có cạnh bằng nhau. Chứng minh bốn điểm E, F, M, N cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải
Dựng và .
Do OA = OB và AF = BM nên O nằm trên trục đẳng phương của (A) và (B).
Mặt khác, EF, MN lần lượt là trung trực của đoạn AD, BC nên 
Suy ra 4 điểm E, F, M, N cùng thuộc m...h AC và BD cắt nhau tại X và Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Trên đường thẳng XY lấy một điểm P không trùng với Z, đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai M, đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai N. Chứng minh AM, DN, XY đồng quy.
Lời giải
Gọi lần lượt là giao của AM, DN, AD với XY
Tứ giác JMCK nội tiếp nên 
Tương tự 
Do P nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính BD nên hay 
Vậy AM, DN, XY đồng quy (đpcm).