Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề: Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất - Chủ đề 1: Các tính chất cơ bản và bài toán ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

 phần III. Các công thức bị hoá ảnh
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI
Ước: Số tự nhiên được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là ước của a.
Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư
Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m.
Nhận xét: Tập hợp các bội của a là 
2) Tính chất... bội chung 
1) Định nghĩa 
Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư và Ư có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là ước số chung của a và b. Kí hiệu: ƯC.
Nhận xét: Nếu ƯCthì a và b nguyên tố cùng nhau.
Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b khi d là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC. Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN hoặc hoặc gcd.
Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B và B có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là bội số chung của a và ... BÀI
Dạng 1: Các tính chất và bài toán cơ bản về ƯCLN và BCNN
I. Phương pháp giải
Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên là  thì số lượng các ước của bằng 
Thật vậy ước của là số có dạng trong đó:
 có cách chọn (là)
 có cách chọn (là)
 có cách chọn (là),
Do đó, số lượng các ước của bằng 
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số ước của số .
Lời giải:
Ta có : 
Vậy số ước của số là 
Bài 2: Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 ...hương (bài toán 1), vô lí. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 3: Cho Chứng minh rằng:
a) 	c) 
b) 	d) 
Lời giải
a) Đặt 
c) 
Giả sử Gọi p là số ước nguyên tố của d (1 số tự nhiên khác 1 bào giờ cũng tồn tại ít nhất một ước nguyên tố) 
Ta có: (vô lý)
Vậy 
d) 
Bài 3: Biết rằng là bội chung của . Chứng minh rằng: 
 là bội của 	b) là bội của 
Lời giải
a) (do c có một chữ số, có hai chữ số) 
- 
Đặt 
- 
Vì đpcm
b) đpcm
Bài 4: Biết rằng 
a. nhỏ hơn 10 lần (a, b). Số thứ nhất là 1...ia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, từ đó ta tìm được số nguyên n thỏa mãn điều kiện. 
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên để chia hết cho .
Lời giải:
Ta có: 
Mà chia hết cho 
Do đó chia hết cho 4 chia hết cho là ước của 4.
Do đó 
Vậy với thì chia hết cho .
Bài 2: Tìm số tự nhiên để là số tự nhiên.
Lời giải:
Để là số tự nhiên thì chia hết cho .
 chia hết cho .
12 chia hết cho .
 là Ư.
Vậy với thì là số tự nhiên.
Bài 3: Tìm số tự nhiên để .
Lời giải:
Ta có: 
S... khi 
Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21
Với , ta có 
Với , ta có 
Vậy giá trị lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 98.
Dạng 3: Tìm số tự nhiên khi biết điều kiện về tổng, tích, thương các số và dữ kiện về ƯCLN, BNCC.
I. Phương pháp giải
- Biết ƯCLN(a, b) = k thì và với ƯCLN(m, n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm), từ đó tìm được a và b
- Biết BCNN(a, b) = k thì ta gọi ƯCLN(a, b) = d thì và với ƯCLN(m, n) = 1
(là điều kiện của số m, n cần tìm), từ đó tìm được a và b. 
II. Bài toán
B...:
Gọi hai số cần tìm là 
Ta có: 
Đặt 
Lại có: 
 
 
 
 
13
7
195
105
11
5
65
75
7
1
85
15
Vậy: 
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6.
Lời giải: 
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là . Điều kiện: .
Ta có: 
Đặt với (m, n) = 1 và m ≤ n 
Ta được:
m
n
a
b
1
12
6
72
3
4
18
24
Vậy .
Bài 5: Tìm hai số biết và ƯCLN.
Lời giải
Từ suy ra 
Từ ƯCLN 
Mà: vì => 
Vậy hai số cần tìm là và.
Bài 6: Cho 
a) Tìm và .
b) So sánh với Chứng minh nhận xét đó đối với hai số tự nhiên ...nguyên tố ở hai vế của chính là các thừa số nguyên tố có trong và Ta sẽ chứng tỏ rằng hai vế chứa các thừa số nguyên tố như nhau với số mũ tương ứng bằng nhau.
Gọi là thừa số nguyên tố tùy ý trong các thừa số nguyên tố như vậy. Giả sử số mũ của trong là số mũ của trong là trong đó và có thể bằng Không mất tính tổng quát, giả sử rằng Khi đó vế phải của chứa với số mũ . Còn ở vế trái, [a, b] chứa với số mũ x, (a, b) chứ p với số mũ nên vế trái cũng chứa với số mũ 
Cách 2. Gọi thì , trong đó 
 Đ...hiên sao cho tổng của ƯCLN và BCNN là 15.
Lời giải
Điều kiện: . Giả sử .
Gọi d = ƯCLN( a; b) , và d < 15
Nên BCNN(a; b) = 
Theo bài ra ta có: , Mà d < 15, Nên
TH1 : 	hoặc 
TH2 : 
TH3 : 
Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;14), (2 ; 7), (3 ; 12), ( 5 ; 10) và đảo ngược lại.
Bài 8: Tìm hai số nguyên dương biết và ƯCLN.
Lời giải
Điều kiện: . Giả sử . Ta có ƯCLN.
Biết 
Vì ƯCLN nên ta có hai trường hợp
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Vậy hai số cần tìm là . 
Bài 9: Tìm hai s...Bài 12: Tìm biết và .
Lời giải
Đặt ƯCLN.
Vì , mặt khác 
Mà , nên 
Từ đây bài toán đã biết và 
.
Bài 13: Tìm hai số tự nhiên biết và 
Lời giải
Điều kiện: .
Gọi ƯCLNƯCLN 
Biết 
Biết 
 là ước chung của 7 và 140
Thay lần lượt các giá trị d vào (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất thì và (thỏa mãn )
Vậy và .
Bài 14: Tìm hai số tự nhiên biết và ƯCLN
Lời giải
Điều kiện: . Giả sử .
Biết ƯCLNƯCLN 
Mà nên 
Mà ƯCLN nên có các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1: