Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Phép nghịch đảo và ứng dụng

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG
Nguyễn Văn Thảo – THPT Chuyên Bắc Giang
A. Lời nói đầu
	Phép biến hình là một công cụ hết sức quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề của hình học. Trong chuyên đề này, tôi xin trình bày một số ứng dụng của phép nghịch đảo, đây là phép biến hình khá đặc biệt trong chương trình Toán phổ thông (Nó không bảo tồn tích đồng dạng của các hình). 
	Về nội dung, tôi cố gắng hệ thống lại các tính chất và các dạng toán, ví dụ điển hình trong ứng dụng của phép nghịch đảo....k.
	I.2. Các tính chất
	 I.2.1. Tính chất 1
 	Phép nghịch đảo f biến M, N (M, N, O không thẳng hàng ) lần lượt thành M’, N’ thì M, N, M’, N’ cùng thuộc một đường tròn.
	 I.2.2. Tính chất 2
	Phép nghịch đảo f bảo tồn góc của hai đường. (hay f là phép biến hình bảo giác). 
	 I.2.3. Tính chất 3
Phép nghịch đảo f biến M, N lần lượt thành M’, N’ ta có
I.3. Ảnh của đường thẳng, đường tròn qua phép nghịch đảo
	 I.3.1. Ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo
	 - Ảnh của đường tròn tâm I không đ...à đường tròn (O,), đường tròn này gọi là đường tròn nghịch đảo của f.
 	Nếu k < 0 thì f không có điểm bất động.
	O là điểm duy nhất không có ảnh và tạo ảnh, nhưng nếu bổ sung điểm vô cực thì ảnh của O chính là điểm vô cực.
II. Các dạng toán cơ bản
II.1. Các bài toán về độ dài
	Khi gặp các bài toán chứng minh liên quan đến độ dài đoạn thẳng, ta thường sử dụng hệ thức (1) để đưa biểu thức cần chứng minh về một hệ thức mới, đơn giản hơn hệ thức ban đầu.
Ví dụ 1 (Mathlins.ro). Cho tứ giác A...iện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp là tích hai đường chéo bằng tổng tích các cặp cạnh đối diện.
Lời giải
Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích k
Gọi ảnh của B, C, D lần lượt là B’, C’ D’. 
Ta có ABCD nội tiếp khi và chỉ khi B’, C’, D’ thẳng hàng theo thứ tự đó
Û B’C’ + C’D’ = B’D’ Û 
Û AC.BD = AB.CD + AD.BC
Từ đó có điều phải chứng minh.
Tất nhiên từ đây ta cũng suy ra ngay bất đẳng thức Ptolémée.
Ví dụ 3. Cho ba đường tròn cùng đi qua A. Một đường thẳng đi qua A, cắt ba đường tròn ...c đồng quy, ta chứng minh chúng là ảnh của ba đường tròn cùng đi qua A, B qua phép nghịch đảo cực A.
	Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh ảnh của chúng qua phép nghịch đảo cực I là cùng với cực nghịch đảo tạo thành một tứ giác nội tiếp.
	Ta cũng có thể đưa về bài toán độ dài để chứng minh.
Ví dụ 1 (IMO 1996). Cho P là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho 
APB - C = APC - B. Gọi D, E lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác APB và tam giác APC. Chứng minh rằng AP, BD,...và AiAi+2. Bi là giao điểm thứ hai của Ci + 1 và Ci +2. Chứng minh rằng tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác A1B1I, A2B2I, A3B3I thẳng hàng.
Lời giải
Vì các đường tròn ngoại tiếp các tam giác A1B1I, A2B2I, A3B3I cùng đi qua I nên yêu cầu bài toán tương đương với các đường tròn đó còn có một điểm chung khác nữa.
Xét f là phép nghịch đảo cực I phương tích k bất kì (Bạn đọc tự vẽ hình)
Kí hiệu X’ = f(X)
Ta có ảnh của Ci là đường thẳng 
Ví dụ 4 (Singapore 2010). Cho CD là một dây cung củ...M.CN = CN2 Û CN = 2CM
Từ đó suy ra M là trung điểm CN.
Dễ thấy K là trung điểm NL nên MK//CL
Từ đó có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng O, I và trực tâm H của tam giác MNP thẳng hàng.
Lời giải
Xét phép nghịch đảo f cực I phương tích r (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
Khi đó f biến đường tròn Euler của tam giác MNP (là đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF) thàn...g song, hai đường tròn tiếp xúc nhau hoặc một đường tròn và một đường thẳng tiếp xúc nhau.
- Hai đường tròn tiếp xúc nhau biến thành: hai đường thẳng song song, hai đường tròn tiếp xúc nhau hoặc một đường tròn và một đường thẳng tiếp xúc nhau.
- Một đường tròn và một đường thẳng tiếp xúc nhau biến thành: hai đường thẳng song song, hai đường tròn tiếp xúc nhau hoặc một đường tròn và một đường thẳng tiếp xúc nhau.
Ví dụ 1 (China 2012). Cho tam giác ABC có góc A lớn nhất. Gọi D và E lần lượt là ... =D’AC’.
Suy ra C’D’ = C’A
(C1) biến thành đường thẳng B’P’ và AC biến thành AC nên B’P’ // AC
Tương tự P’E’ // AD 
Từ đó suy ra D’AC’ = B’P’E’
Từ P’E’ // AD’ suy ra B’E’P’ = AD’E’ = D’AC’ = B’P’E’
Suy ra tam giác B’E’P’ cân tại B’ Þ B’E’ = B’P’ = B’A
Suy ra tam giác B’AP’ cân tại B’
Suy ra
2BAP = 2B’AP’ = 1800 - AB’P’
 = 1800 - AB’C’ – C’B’P’ 
 = 1800 - AB’C’ – B’C’A = BAC
Vây có điều phải chứng minh. 
Ví dụ 2. Cho p là nửa chu vi của tam giác ABC. E, F là hai điểm trên AB sao cho ...nh BC, CA, AB của tam giác nhọn ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC và MNP cắt nhau tại X, Y bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng BAX = CAY.
Lời giải
Xét phép nghịch đảo f cực A phương tích AD.AN
Gọi I, J lần lượt là tâm của AD, AE ta có AI.AB = 
Suy ra f biến I thành C, biến J thành B 
Vậy f biến (MNP) thành chính nó, biến đường tròn Euler (T) của tam giác ADE thành (ABC)
Gọi R, S là giao của (T) và (MNP) suy ra f: R, S X,Y
Mặt