Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Phương tích, trục đẳng phương

PHƯƠNG TÍCH- TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
Lê Xuân Đại, THPT Chuyên Vĩnh Phúc
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
	Phương tích và trục đẳng phương là chủ đề đề đã rất quen thuộc và quan trọng trong hình học phẳng. Cho dù lý thuyết về phần này khá đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học phẳng. Nhiều bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi về toán có thể được giải quyết một cách đơn giản nhờ sử dụng các tính chất của phương tích, trục đẳng phương mà điển hình nhất là các bài toán... một số ứng dụng của phương tích- trục đẳng phương và phần cuối là một số bài tập áp dụng.
2. Mục đích của đề tài
	Đề tài "Phương tích-trục đẳng phương" được tác giả chọn viết nhằm giới thiệu với các thầy cô và các em học sinh những kinh nghiệm và phương pháp của chúng tôi khi giảng dạy về chủ đề phương tích- trục đẳng phương trong chương trình chuyên toán THPT, qua đó cũng nhấn mạnh tầm quan trọng và vẻ đẹp hình học qua các ứng dụng của nó, đặc biệt là các bài toán về quan hệ vuông góc, các đ...nhỏ để việc giảng dạy phần phương tích- trục đẳng phương đạt hiệu quả nhất và các em học sinh có thể áp dụng tốt nhất vào việc giải các bài toán hình học và hơn nữa đem lại sự yêu thích, đam mêm bộ môn hình học vốn đã rất đẹp đẽ và đầy tính sáng tạo. 
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Lý thuyết
1. Phương tích của một điểm đối với đường tròn 
1.1. Định lý 1. Cho đường tròn bán kính và một điểm P. Một đường thẳng thay đổi đi qua P và cắt tại hai điểm . Khi đó tích không đổi và bằng (d là khoảng cách từ điểm...òn và không cùng tâm. Khi đó quỹ tích các điểm có cùng phương tích đối với chúng là một đường thẳng vuông góc với nối tâm . Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của và .
2.2. Xác định trục đẳng phương.
a) Nếu hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm . Lúc đó đều có cùng phương tích bằng 0 đối với và . Suy ra trục đẳng phương của và là đường thẳng AB.
b) Nếu hai đường tròn và tiếp xúc nhau tại điểm T. Lúc đó có cùng phương tích bằng 0 đối với và . Suy ra trục đẳng phương của và là tiếp t...ọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn này. 
	Trong trường hợp các tâm cùng thuộc một đường thẳng thì các trục đẳng phương đều vuông góc với đường thẳng chứa .
II. Ứng dụng của phương tích- trục đẳng phương
1. Ứng dụng trong tính toán và chứng minh các hệ thức hình học
	Một ứng dụng đơn giản nhất của phương tích là tính toán độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các đẳng thức hình học. Chú ý rằng nếu M nằm ngoài đường tròn và qua M vẽ hai cát tuyến thì . 
Còn nếu M nằm trong đường tròn và ...tam giác AMG và EMA đồng dạng, nên .
Mà 
Suy ra . Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài 1.3 (IMO shorlist 2011). Cho tứ giác lồi không nội tiếp. Gọi và là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Định nghĩa và một cách tương tự. Chứng minh rằng
.
Lời giải. 
Gọi M là giao điểm hai đường chéo và , là giao điểm thứ hai của với đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Ta có và . Do đó
Cùng các đẳng thức tương tự ta được
.
Bài 1.4. Cho bốn điểm bất kì trên đường tròn . Giả sử cắt nhau tại M...m thứ hai của và , ta có ngay C' đối xứng với C qua AB. Do nên AC là tiếp tuyến của và BC là tiếp tuyến của . Gọi là giao điểm thứ hai của AX với , là giao điểm thứ hai của BX và .
Theo phương tích của X đối với đường tròn và ta được , suy ra bốn điểm nằm trên một đường tròn
(T). Theo phương tích của A với đường tròn ta được , suy ra AL tiếp xúc với (T) tại L. Tương tự BK tiếp xúc với (T) tại K. Như vậy là hai tiếp tuyến của (T) kẻ từ M, suy ra (đpcm).
Bài 1.6. Cho hai đường tròn và không đồn... đường tròn và một điểm A cố định nằm ngoài . Điểm I di chuyển trên sao cho đường tròn tâm I bán kính IA cắt tại hai điểm M,N phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Lời giải. 
Do đã có hai đường tròn và cùng sự xuất hiện của trục đẳng phương MN, nên ta nghĩ ngay đến công thức hiệu số phương tích của điểm A. Gọi A' là hình chiếu của A trên MN. Ta có
Do đó AA' không đổi, suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A, bán kính không đổi.
Bài 1.6.2. Ch...ba đường cao của tam giác đồng quy tại H. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là 
Lời giải. 
Qua lần lượt kẻ các đường thẳng song song với , chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF. Khi đó theo thứ tự là các đường trung trực của và do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF. Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có .
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ta có 
.
Đặt , ta có 
Tương tự .
Không mât tính tổng quát, có thể giả sử , suy ra 
 (1)
Giả sử... trong bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc là phổ biến và tự nhiên nhất. Điều này thực sự có nguồn gốc từ định lý về quỹ tích hiệu bình phương mà ta cũng hay gọi là định lý bốn điểm. Định lý đó được phát biểu thật đơn giản như sau:
	Với 4 điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có
Một hệ quả trực tiếp là: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc khi và chi khi tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau. 
	Cũng dễ thấy rằng định lý bốn điểm vẫn đúng khi các điểm bất kì trong không gian.
Sa