Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Phương tích, trục đẳng phương (tiếp)

PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
A. LỜI NÓI ĐẦU
	Phương tích, trục đẳng phương là một trong những công cụ đã rất quen thuộc trong giải toán hình học phẳng. Kiến thức liên quan đến chúng khá đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng mạnh trong các bài toán hình học phẳng, có thể xử lý các bài toán khó với cách xử lí đẹp và ấn tượng. 
	Trong bài viết này, tác giả đề cập đến một số ứng dụng cơ bản của phương tích, trục đẳng phương như bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp; vuông góc, song song; thẳng hà...1:
Nếu A, B cố định và thì M cố định.
Điểm P nằm ngoài (O; R) 
Điểm P nằm trong (O; R) 
Điểm P nằm trên (O; R) 
Tính chất 2:
Cho đường tròn (O; R) và một điểm M nằm trên (O). Qua M kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT tới (O). Khi đó 
Tính chất 3:
Cho hai đường thẳng AB, CD phân biệt, cắt nhau tại M, M khác A, B, C, D. Khi đó nếu thì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Tính chất 4:
Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt nhau tại M, M khác A, B, T. Khi đó nếu thì đường tròn... vuông góc với O1O2.
2. Các tính chất
Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường nối tâm.
Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương.
Nếu điểm M có cùng phương tích với hai đường tròn thì đường thẳng qua M và vuông góc với đường nối tâm là trục đẳng phương.
Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN là trục đẳng phương.
Nếu ba điểm có cùng phương tích với hai đường tròn thì chúng thẳng hàng.
Nếu cắt nhau tại A ...ng tròn và . Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn.
b) Các tính chất
Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm
Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng.
Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau.
C. CÁC DẠNG TOÁN
I. Ứng dụng giải các bài t...ụng định lí sin cho tam giác AHB,
Tương tự ta cũng có 

Vì cân tại B 
Do tam giác ABC nhọn nên 
Trường hợp tam giác ABC vuông hay tù chứng minh tương tự.
Nhận xét
(Hệ thức Euler)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) và ngoại tiếp đường tròn (I; r). Đặt OI = d. Chứng minh rằng .
Giải
Gọi E là tiếp điểm của AB và (I; r), là giao điểm củaAI và (O; R). Ta có
 .
Vì nên cân tại 
Áp dụng định lí sin cho tam giác . 
Do điểm I nằm trong (O; R) nên 
Cho tam giác ABC có . Xét đường tròn...Giải
Ta có
Tương tự, .
Do đó, .
(USA MO 2008) Cho hai đường tròn và có cùng tâm ( chứa ) và một điểm A trên . Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt đường tròn tại hai điểm B và C. Gọi D là trung điểm của AB. Một đường thẳng qua B cắt tại hai điểm E, F. Biết rằng các đường trung trực của DE và CF cắt nhau tại một điểm I trên đường thẳng BC. Tính tỉ số .
Giải
Ta có . Mặt khác nên . Do đó tứ giác DEFC nội tiếp một đường tròn. Mà điểm I là giao của hai đường trung trực của DE, FC nên I chính là ...tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại X, Y. Gọi K là điểm chính giữa cung AB không chứa C. Giả sử XY chia đôi đoạn AK. Tính 
Gọi S là giao điểm của XY và AK. Ta có 
hay 
II. Ứng dụng giải các bài toán định tính
1. Bài toán chứng minh tứ giác nôi tiếp
Kết quả thường dùng : 
Cho đường tròn và một điểm M. là hai cát tuyến cắt lần lượt tại và . Khi đó .
Ngược lại, cho hai đường thẳng AB, CD phân biệt, cắt nhau tại M, M khác A, B, C, D. Khi đó nếu thì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường trò...uy ra 
Gọi là giao điểm của BC và YZ. Tương tự ta cũng có 
Từ (3) và (4) suy ra . Khi đó , suy ra tứ giác EFZY nội tiếp.
Cho hai đường tròn ngoài nhau, là tiếp tuyến chung của hai đường tròn . K là trung điểm của . Từ K lần lượt kẻ hai tiếp tuyến tới , . Chứng minh rằng cùng thuộc một đường tròn.
Do nên tứ giác nội tiếp, suy ra 
 KL là trục đẳng phương của hai đường tròn .
Dễ thấy các tứ giác . Khi đó áp dụng định lí Miquel cho tam giác ta có điều phải chứng mịnh.
(IMO shortlist 2006) Cho... đường tròn.
Cho hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Một đường thẳng đi qua lần lượt cắt tại và , điểm bất kì nằm trong đoạn . Đường thẳng cắt đường tròn tại . Đường thẳng cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn và vuông góc với .
Giải
Xét phương tích của điểm đối với hai đường tròn ta được bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn .
Gọi là bán kính của đường tròn ta có 
Từ đó suy ra 
suy ra (theo định lí Các - nô)
2. Bài toán chứng minh vuông gó...ới AM. 
Giải
Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AH, MH.
Ta có 
Suy ra tứ giác EDMF nội tiếp. 
Từ đó ta có , suy ra N nằm trên trục đẳng phương của đường tròn 
(O, OH) và đường tròn (I, IH). Mặt khác H là giao điểm của đường tròn 
(O, OH) và đường tròn(I, IH), suy ra NH chính là trục đẳng phương của (O) và (I).
Suy ra , mà OI // AM, do đó . 
Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và