Bài giảng Toán 8 (Cánh diều) - Chương VIII, Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác - Trường THCS Thái Sơn

 8TH GRADE
CHƯƠNG VIII
§4. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 
CỦA TAM GIÁC Hình 37. SGK/66
 KHỞI ĐỘNG
Một phần sân nhà bạn Duy được lát 
bởi các viên gạch hình vuông khít 
nhau, trong đó các điểm A,B,C,D là 
bốn đỉnh của một viên gạch. Bạn 
Duy Đặt một thước gỗ trên mặt sân 
sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C 
và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. 
Bạn Duy nhận thấy ta luôn có tỉ lệ 
thức: CM AM
 =
 CN AN HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
 HĐ1.
 Trong Hình 38, tam giác ABC có AD là đường phân 
 giác của giác của góc BAC. Giả sử mỗi ô vuông của 
 lưới ô vuông có độ dài cạnh bằng 1 cm.
 a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC
 b) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC
 푫 
 c) So sánh các tỉ số ;
 푫푪 푪 Nếu tam giác ABC có AD là đường phân giác của 
 giác của góc BAC ta có thể suy ra tỉ lệ thức nào?
HĐ1
a) DB=2 ; DC=3
b) AB = 4; AC = 6
 DB2 AB 4 2
c) Ta có: =; = =
 DC3 AC 6 3
 DB AB
 Suy ra: =
 DC AC 1. Định lý Tính chất đường phân giác của tam giác
Định lý (SGK/T66) A
 ABC
 GT AD là đường phân giác của
 góc BAC ( D BC )
 C
 DB AB B D
 KL =
 DC AC CHỨNG MINH BÀI TOÁN PHỤ
Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác 
của góc BAC. Trên AD lấy E sao cho 
BE//AC.
a) Chứng minh tam giác ABE cân tại B
 DB AB
b) Chứng minh =
 DC AC CHỨNG MINH BÀI TOÁN PHỤ
a) Chứng minh tam giác ABE cân tại B
 Tam giác ABE cân tại B
 ABE= BAE 
 BAE = CAE BEA = CAE 
 (gt)
 BE//AC CHỨNG MINH BÀI TOÁN PHỤ
 a) Chứng minh tam giác ABE cân tại B
 b) Chứng minh
 DB AB DB BE
 AB=BE = =
 DC AC DC AC
Tam giác ABE cân tại B
 (Cmt) ∆ACD ; BE//AC (Đly Thales)
 Hoàn thành Chứng minh: BTVN 1. Định lý Tính chất đường phân giác của tam giác
 A
 ABC
 GT AD là đường phân giác của
 góc BAC ( )
 D BC
 C
 KL DB AB B D
 =
 DC AC
 Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối 
 diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1: Cho hình vẽ, Điền vào ô trống cho kết luận sau: M
Tam giác NMP có MK là đường phân giác của góc NMP nên 
 MN.... KN
 = (tính chất đường phân giác)
 MP KP N K P
Bài 2 : Cho tam giác MNP, NI là đường phân giác của góc MNP suy ra: 
 IM NM IM NP
 A. = B. =
 IN NP IP NM
 IM NM IN NP
C. = D. =
 IP NP IP NM VD1. Quan sát hình 40 
 x
 a) Tính = ?
 y
 b)ABC Tính x, y biết x+y=9 
Phân tích D BC
 GT AD là đường phân giác của
 góc BAC ( )
 x
 a) = ?
 KL y
 b) Tính x, y biết x+y=9 Giải
 Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác
 của góc BAC nên (tính chất đường phân giác)
 x 63
 Suy ra ==
 yDB10 AB 5
 x 3= xy
b) Ta có DC= ACsuy ra =
 y 5 35
 x y x+ y 9
 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = =
 3 5 3+ 5 8
 9 27 9 45
 Suy ra: x= 3.= ;y = 5. = .
 8 8 8 8 CM AM
LT1. Tại sao luôn có tỉ lệ thức = ? 
 CN AN
Giải : Vì ABCD là hình vuông nên AC là tia phân giác
của góc DAB
hay AC là đường phân giác trong tam giác NAM
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác
 CM AM
Ta có: = (đpcm).
 CN AN LT2. Cho tam giác ABC có AB<AC, AD là đường phân giác. 
 Chứng minh DB<DC
 A
 DB<DC
 DB
 1
 DC
 B D C
 DB AB AB
 = 1
 DC AC AC
 AD là đường phân giác AB<AC
 (gt) VD2.
 Cho tam giác ABC có AB= 4; BC=6; CA=8, AD là
 đường phân giác và I là giao điểm ba đường
 ABC
 phân giác của tam giác đó (Hình 41).
 ID
 Tính DB và
 IA
Phân tích
 có AB= 4; BC=6; CA=8
 GT AD là đường phân giác
 I là giao điểm ba đường phân giác
 ID
 KL DB =? ; = ?
 IA VD2. có AB= 4; BC=6; CA=8
 GT AD là đường phân giác
 I là giao điểm ba đường phân giác
 ABC
 KL DB =? ; 
Giải:
 Xét tamDB giác ABC AB có AD là đường phân giác của góc BAC nên 
 =
 DB 41 DB DC
 Suy ra: DC == AC , do đó =
 DC 82 12
 DB DC DB+ DC 6
 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = = = 2
 1 2 1+ 2 3
 Suy ra DB=2.
 ID BD
 Xét tam giác ABD có BI là đường phân giác của góc ABD nên =
 ID IA BA
 Suy ra: ID 21 = ?
 == IA
 IA 42 LT3. Cho tam giác ABC có AD, BE, CF là 3 đường phân giác của tam giác. 
 DB EC FA
 Chứng minh . .= 1
 DC EA FB
 A
 GT AD, ABC BE, CF là 3 đường phân giác của tam giác
 DB EC FA E
 KL . .= 1 F
 DC EA FB
 Hoạt động nhóm bàn: Phiếu học tập
 B D C Hoạt động nhóm bàn
LT3. GT
 AD, BE, CF là 3 đường phân giác của tam giác
 KL A
 ABC
 DB EC FA E
 Giải: . .= 1 F
 DC EA FB
 Xét tam giác ABC có AD, BE, CF là đường phân giác
 của góc BAC nên
 DB AB FA EC ..... B C
 = ; = ....; = D
 DC AC FB .... AB
 Ta có: DB EC FA ... ... ...
 . .== . . 1. (Đpcm)
 DC EA FB ... ... ... VD3.
 Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Gọi
 MD, ME lần lượt là đường phân giác của các tam giác
 ABC
 AMB và AMC. Giả sử DE cắt AM tại I. Chứng minh
 DE//BC và I là trung điểm của DE
Phân tích
 , AM là đường trung tuyến
 GT MD, ME là đường phân giác của tam giác AMB, AMC
 DE cắt AM tại I
 KL DE//BC, ID là trung điểm của DE DA MA
VD3. * Xét tam giác AMB có MD là đường phân giác của góc AMB nên =
 DB MB
 EM MA
 Xét tam giác AMC có ME là đường phân giác của góc AMC nên =
 EC MB
 MA MA DA EM
 Mà MB=MC nên = . Suy ra =
 MB MC DB EC
 Vì thế DE//BC (Định lý Thales đảo trong tam giác ABC).
Cách 1 * Suy ra IDM = DMB mà DMB = DMI nên IDM = DMI 
 hay tam giác DIM cân tại I suy ra ID=IM (1)
 Tương tự IEM = CME mà CME = EMI nên IEM = IME 
 hay tam giác DIM cân tại I suy ra IM=IE (2)
 Từ (1) (2) suy ra ID=IE hay I là trung điểm của DE.
Cách 2 (SGK, BTVN)