Bài tập Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chương 1: Số nguyên tố

CHƯƠNG 1: SỐ NGUYÊN TỐ
	. Số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
	. Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn lại các số nguyên tố đều là số lẻ.
	. Trong ba số tự nhiên liên tiếp sẽ có một số chia hết cho 3.
DẠNG 1. TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho hai số cũng là số nguyên tố.
Bài làm:
Giả sử với là số nguyên tố, 
Khi đó là hợp số nên ( loại) 
	Với là số nguyên tố
	Khi đó là số nguyên tố và cũng là số nguyên tố nên ( nhận)
	Với và p là số nguyên tố thì p chia ... hoặc 2.
	Nếu p chia 3 dư 1 thì p có dạng giả sử là số nguyên tố
	Khi đó là hợp số ( loại)
Nếu p chia 3 dư 2 thì p có dạng giả sử là số nguyên tố
	Khi đó là hợp số ( loại)
Vậy là số nguyên tố duy nhất cần tìm.
Bài 3: Tìm số nguyên tố p sao cho 3 số cũng là số nguyên tố .
Bài làm:
	Giả sử với là số nguyên tố
	Khi đó là hợp số nên ( loại)
	Giả sử với là số nguyên tố
	Khi đó , và đều là các số nguyên tố nên ( nhận)
Với và p là số nguyên tố thì p chia 3 sẽ có dư là 1 hoặc 2.
	Nếu p chia...nguyên tố
	Khi đó là hợp số nên ( loại)
Nếu p chia 3 dư 2 thì p có dạng giả sử là số nguyên tố
	Khi đó là hợp số nên ( loại)
Vậy là số nguyên tố duy nhất cần tìm.
Bài 5: Tìm số nguyên tố p sao cho: cũng là số nguyên tố .
Bài làm:
Giả sử với là số nguyên tố
Khi đó đều là số nguyên tố nên ( nhận)
	Với là số nguyên tố
Khi đó đều là số nguyên tố( nhận) 
Với và p là số nguyên tố thì p chia 3 sẽ có dư là 1 hoặc 2.
	Nếu p chia 3 dư 1 thì p có dạng giả sử là số nguyên tố
Khi đó là hợp số nê... dạng giả sử là số nguyên tố
Khi đó là hợp số nên ( loại)
Vậy là số nguyên tố duy nhất cần tìm.
Bài tập tương tự.
Bài 7: Tìm số nguyên tố p sao cho cũng là số nguyên tố.
Bài 8: Tìm số nguyên tố p sao cho cũng là số nguyên tố .
Bài 9: Tìm số nguyên tố p sao cho và cũng là số nguyên tố.
Bài 10: Tìm số nguyên tố p sao cho và đều là các số nguyên tố.
DẠNG 2. CHỨNG MINH LÀ SỐ NGUYÊN TỐ HAY HỢP SỐ
Bài 1: Cho p và là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh là hợp số.
Bài làm:
	Vì p là số nguyên t...Vậy với p và là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì là hợp số.
Bài 3: Cho p và là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh là hợp số.
Bài làm:
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng với .
	Nếu giả sử là số nguyên tố thì là hợp số 
Nên ( loại)
	Nếu giả sử là số nguyên tố thì giả sử cũng là số 
nguyên tố 
	Khi đó là hợp số
	Vậy với p và là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì là hợp số.
Bài 4: Cho p và là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh là hợp số.
Bài làm:
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 ... minh là hợp số
Bài tập bổ sung
Bài 9: Cho p và là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh là hợp số.
Bài làm:
	Nhận thấy , và là ba số tự nhiên liên tiếp, nên phải có một số chia hết cho 3.
	Vì là số nguyên tố lớn hơn 3 nên .
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên .
	Do đó chia hết cho 3 hay là hợp số.
Bài 10: Cho p và là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh là hợp số.
Bài làm:
	Nhận thấy , và  là ba số tự nhiên liên tiếp nên phải có một số chia hết cho 
3.
	Vì p là số nguyên tố lớn h...n tố lớn hơn 3 nên p có dạng với .
	Nếu giả sử là số nguyên tố thì là hợp số nên ( loại) 
	Nếu giả sử là số nguyên tố thì giả sử cũng là số nguyên tố 
	Khi đó 	(1)
	Mặt khác p nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ do đó là số chẵn
	Khi đó 	(2)
	Từ (1) và (2) ta được .
Bài 2: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết cũng là số nguyên tố. Chứng minh .
Bài làm:
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng với . 
	Với giả sử là số nguyên tố thì là hợp số nên ( loại) 
	Với giả sử là số nguyên t...à (2) ta được .
Bài tập tương tự
Bài 4: Cho p và là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh .
Bài tập bổ sung
Bài 5: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì . 
Bài làm:
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3.
	Do p không chia hết cho 2 nên là hai số chẵn liên tiếp.
Khi đó 	(1)
	Mặt khác p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng với .	Nếu 
	Nếu .
	Vậy nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì 
Bài 6: Cho p và là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng ... cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9
. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa thừa số với mũ chẵn.
Hệ quả: 
	+ Tích các số chính phương là 1 số chính phương
	+ Số chính phương 2 thì 4
	+ Số chính phương 3 thì 9
	+ Số chính phương 5 thì 25
	+ Số chính phương 8 thì 16
	+ Số lượng các ước lẻ là số chính phương và ngược lại
	+ Số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
DẠNG 1: 
Bài 1: Số là số chính phương không?
Bài làm:
 có chữ số tận cùng là 8 nên không là số chính phươ...6: Cho .
Chứng minh A chia hết cho 24.
Chứng minh A không phải là số chính phương.
DẠNG 2.
Bài 1: Tổng là số chính phương không?
Bài làm:
Tổng A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
Nên A không là số chính phương
Bài 2: Cho . Hỏi A có là số chính phương không?
Bài làm:
	Nhận thấy A chia hết cho 5 nhưng A lại không chia hết cho 25
Nên A không là số chính phương
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng không là số chính phương?
Bài làm:
 không là số chính phương vì có mũ lẻ.
Bài 4: Cho . C