Bài tập Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 2: Dấu hiệu chia hết, chia có dư

CHUYÊN ĐỀ 2: DẤU HIỆU CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ
LÝ THUYẾT
Định nghĩa.
Với mọi a, bÎN (b¹0) ta luôn tìm được số tự nhiên r sao cho
a = bq + r (0 £ r < b)
a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư
- Nếu r = 0 ta được phép chia hết, tanói rằng a chia hết cho b (a: b), hay a là bội của b, hay b chia hết a, hay b là ước của a (b/a).
- Nếu r > 0,ta được phép chia có dư, ta nói rằng a không chia hết cho b (a:b).
2. Các tính chất về phép chia hết. (10 tính chất)
Số 0 chia hết cho...n bn.
Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của hai số đó.
Nếu tích ab chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.
Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p. Suy ra nếu an p, p là ngyên tố thì a p.
Dấu hiệu chia hết cơ bản:
Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là: 0,2,4,6,8
Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là: 0,5
Dấu hiệu chia hết ch...INH
Bài 1: Chứng minh rằng:
A = 1 + 3 + 32 + + 311 chia hết cho 4
B = 165 + 215 chia hết cho 33
C = 5 + 52 + 53 + + 58 chia hết cho 30
D = 45 + 99 + 180 chia hết cho 9
E = 1 + 3 + 32 + 33 ++ 3119 chia hết cho 13.
F = 1028 + 8 chia hết cho 72
G = 88 + 220 chia hết cho 17
H = 2 + 22 + 23 ++ 260 chia hết cho 3, 7, 15
I = E = 1 + 3 + 32 + 33 ++ 31991 chia cho 13 và 41.
J = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
K = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81
Bài 2: Chứng minh rằng:
abcabc chia hết cho 7, 11 ... (1005a + 2100b) chia hết cho 15, ∀ a,b ∈N.
Chứng minh rằng: A = n2 + n + 1 không chia hết cho 2 và 5, ∀ n ∈N.
Chứng minh rằng: ∀ n ∈N thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.
DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ
Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và 87ab chia hết cho 9
Cho n = 7a5 + 8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b
Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng của chúng bằng *657 và hiệu của chúng bằng 5*91.
Tìm chữ số a, biết rằng: 20a20a20a chi... số chia hết cho 2, bao nhiêu số chia hết cho 5?
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 5 và dư 3?
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho 3?
Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5?
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH
Bài 1: Chứng minh rằng:
A = 1 + 3 + 32 + + 311 chia hết cho 4
A = (1 + 3) + 32.(1 + 3) +  + 310(1 + 3)
A = 4 + 32.4 +  + 310.4
A = 4.(1 + 32 + 310) ⋮ 4(đpcm)
B = ...3 +  + 3117.13
E = 13.(1 + 33 +  + 3117) ⋮ 13 (đpcm)
F = 1028 + 8 chia hết cho 72
Ta thấy: 72 = 8.9
Ta có: 
1028 + 8 ⋮ 9 vì tổng các chữ số bằng 9
1028 + 8 ⋮ 8 vì có tận cùng là 008
Mà (8;9) = 1 nên 1028 + 8 ⋮ 8.9 = 72 (đpcm)
G = 88 + 220 chia hết cho 17
G = (23)8 + 220
G = 224 + 220
G = 220.(24 + 1) 
G = 220.17 ⋮ 17 (đpcm)
H = 2 + 22 + 23 ++ 260 chia hết cho 3, 7, 15
Ta có:
H = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) +  + 259.(1+2)
H = 2.3 + 23.3 +  + 259.3
H = 3.(2 + 23 + .. . + 259) ⋮ 3
Ta c...4 + 36) + (3 + 33 + 35 + 37) +  + (31984 + 31986 + 31988 + 31990 ) + (31985 + 31987 + 31989 + 31991 )
I = (1 + 32 + 34 + 36) + 3.(1 + 32 + 34 + 36) ++ 31984.(1 + 32 + 34 + 36) + 31985.(1 + 32 + 34 + 36) 
I = 820.(1 + 3+ + 31984 + 31985) 
I = 41.20.(1 + 3+ + 31984 + 31985) ⋮ 41
Vậy I chia hết cho 13, 41.
J = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
Ta có: 
J = 10n + 18n – 1 = (10n - 1) + 18n 
J = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
j = 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) 
J = 9.L 
Xét bi...hết cho 81
Ta có:
K = 10n + 72n – 1 
K =10n - 1 + 72n 
K =(10-1)[10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1] + 72n 
K =9.[10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1] - 9n + 81n 
K =9. [10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1- n] + 81n 
K =9[(10n-1 - 1)+(10n-2 - 1)+...+(10-1) + (1 – 1)] + 81n 
Ta có:
 10k - 1 = (10-1)[10k-1 + ... + 10 +1] chia hết cho 9 
=>9[(10n-1 - 1)+(10n-2 - 1)+...+(10-1) + (1 – 1)] chia hết cho 81 
=>9[10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1- n] + 81n chia hết cho 81 
=>K = 10n + 72n – 1 ⋮ 81 (đpcm).
Bài 2: Chứng ...
Như vậy : A=B.C , trong đó B chia hết cho 9, C chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 27 (đpcm).
abcd chia hết cho 29 a + 3b + 9c + 27d chia hết cho 29
Ta có: abcd ⋮ 29
ó 1000.a + 100.b + 10.c + d ⋮ 29
ó 2000.a + 200.b + 20.c +2d ⋮ 29
ó 2001.a – a + 203.b – 3.b + 29.c – 9.c + 29.d – 27.d ⋮ 29
ó (2001.a + 203.b + 29.c + 29.d) – (a + 3.b + 9.c + 27.d) ⋮ 29
ó (69.29.a + 7.29.b + 29.c + 29.d) - (a + 3.b + 9.c + 27.d) ⋮ 29
ó (a + 3.b + 9.c + 27.d) ⋮ 29 (đpcm)
abc chia hết cho 21 a - 2b + 4c chi...+ 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.
Ta có:
60 ⋮ 15 => 60n ⋮ 15 ; 45 ⋮ 15 => 60n + 45 ⋮ 15 (theo tính chất chia hết của một tổng)
60 ⋮ 30 => 60n ⋮ 30; 45 không chia hết cho 30 => 60n + 45 không chia hết cho 30 ( theo tính chất chia hết của một tổng).
Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1.
Giả sử có số a ∈ N thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì:
a=15q1+6 chia hết cho 3a=15q2+1 không chia hết cho 3 => Mâu thuẫn
Vậy không có số