Bài tập Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 5: Bội, ước, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

CHUYÊN ĐỀ 5: BỘI – ƯỚC – ƯCLN – BCNN	
LÝ THUYẾT CƠ BẢN
Ước và bội
a⋮ b ó a là bội của b ó b là ước của a
Ước chung lớn nhất:
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Ước chung lớn nhất của a, b, c được kí hiệu là: UCLN(a, b, c) hoặc (a, b, c). 
Ta có: (a, b) = d Tồn tại a’, b’ ∈ N sao cho a = da’, b = db’, (a’ , b’) = 1.
Bội chung nhỏ nhất:
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung củ...chia hết cho m.
Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n
Tích của hai số bằng tích của BCNN với UCLN của chúng: a.b = (a, b).[a, b].
Ba số a, b, c nguyên tố cùng nhau đôi một nếu (a, b) = 1; (b, c) = 1; (c, a) = 1.
Thuật toán Ơ – clit: Để tìm ƯCLN(a, b) ta thực hiện như sau:
Chia a cho b có số dư là r:
Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b. Việc tìm ƯCLN dừng lại.
Nếu r > 0, ta chia tiếp b cho r, được số dư r1
- Nếu r1 = 0 thì r1 = ƯCLN(a, b). Dừng lại việc tìm ƯCLN
- Nếu ...
Bài 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 600.
Bài 4: Tìm số tự nhiên n, sao cho: n + 5 chia hết cho n + 1
Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 1 + 2 + 3 +  + n = 820
Bài tập tự rèn luyện:
Bài 1: Tìm ba số lẻ liên tiếp có tích bằng 12075.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n, sao cho: 2n + 7 chia hết cho n + 2
Bài 3: Hãy viết số 100 dưới dạng tổng các số lẻ liên tiếp.
Bài 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nó tăng gấp n lần nếu cộng mỗi chữ số của nó với n (n là số tự nhiên, có thể gồ...o a thì dư 18.
Bài 6: Ba khối 6,7,8 theo thứ tự có 300 học sinh, 276 học sinh, 252 học sinh xếp hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng? Khi đó ở mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang?
Bài 7: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3, cho 5, cho 7 được số dư theo thứ tự 2, 3, 4.
Bài 8: Một số tự nhiên chia cho 3 thì dư 1, chia cho 4 thì dư 2, chia cho 5 thì dư 3, chia cho 6 thì dư 4 và chia ... = 42 và [a, b] = 72. 
Bài 4 : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140. 
Bài 5: Tìm số tự nhiên a, biết rằng 350 chia cho a thì dư 14, còn 320 chia cho a thì dư 26.
Bài 6: Người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành một số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng, mỗi phần thưởng có bao nhiêu bút bi, bút chì, tẩy?
Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500, sao cho chia nó cho 15, cho 35 được các số dư theo thứ tự là 8 và 13.
Bài 8: Tìm số tự nhiên ...+ 3 và 8n - 1 (với n thuộc số tự nhiên).
DẠNG 4: VẬN DỤNG THUẬT TOÁN Ơ – CLIT TÌM ƯCLN
Ví dụ minh họa: 
Hãy tìm ƯCLN (1575, 343) = ?
Giải:
Ta có: 1575 = 343. 4 + 203
343 = 203. 1 + 140
203 = 140. 1 + 63
140 = 63. 2 + 14
63 = 14.4 + 7
14 = 7.2 + 0 (chia hết)
Vậy: Hãy tìm ƯCLN (1575, 343) = 7
Trong thực hành người ta đặt phép chia đó như sau:
1575
343




343
203
4



203
140
1



140
63
1



63
14
2



14
7
4




0
2













Suy ra ƯCLN (1575, 343) = 7
Bài tập tự luyện:
Bài 1...số chia và thương là các số tự nhiên).
Gọi x là số chia, a là thương, ta có 145 = ax + 12 (x>12). Như vậy, x là ước của 145 – 12 = 133.
Phân tích ra thừa số nguyên tố: 133 = 7.19
Ước của 133 mà lớn hơn 12 là 19 và 133.
Nếu số chia bằng 19 thì thương bằng 7. Nếu số chia bằng 133 thì thương bằng 1 (trái với đề bài).
Vậy số chia bằng 19 và thương bằng 7
Bài 2: Một phép chia số tự nhiên có số bị chia bằng 3193. Tìm số chia và thương của phép chia đó, biết rằng số chia có hai chữ số.
Nhận x...=> thương không là số tự nhiên 
*b=1 => a=3,4,6,1 => tìm được a=3 
=> số chia = 31; thương = 103
Bài 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 600.
Phân tích 600 ra thừa số nguyên tố:
600 = 23.3.52
Ghép các thừa số lại để được tích của hai số tự nhiên liên tiếp:
23.3.52 = (8.3).25 = 24.25
Đáp số: 24 và 25
Bài 4: Tìm số tự nhiên n, sao cho: n + 5 chia hết cho n + 1
Ta có: n + 5 = (n + 1) + 4
Để n + 5 ⋮ n + 1 thì (n + 1) + 4 ⋮ n + 1 => n + 1 là ước của 4
Ta có bảng s...ố lẻ liên tiếp.
Giả sử số 100 viết được dưới dạng k số lẻ liên tiếp là n +2 ; n +4; ; n + 2k, ta có: (n + 2) + (n + 4) + + (n + 2k) = 100 với n lẻ, k > 1.
Có hai đáp số: 49; 51 và 1 + 3 ++ 19.
Bài 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nó tăng gấp n lần nếu cộng mỗi chữ số của nó với n (n là số tự nhiên, có thể gồm một hoặc nhiều chữ số).
Gọi số phải tìm là abc, ta có: abc + 100n + 10n + n = abc.n
Suy ra: abc ⋮ n.
Đặt abc = n.k ( k ∈ N) thì: n.k + 111.n = n.k.n
Chia cả hai vế cho n... b’ ) = 84 => a’ + b’ = 14. (a’ ≤ b’) ta được:
a’
1
3
5
b’
13
11
9
 Do đó: 
a
6
18
30
b
78
66
54
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a, b > 0, biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. 
Từ ab = (a, b)[a, b] = 240.16 = 3840
Giả sử a ≤ b, vì (a, b) = 16 nên a = 16m, b =16n với m, n ∈ N*
(m, n) = 1 và m ≤ n => ab = 16m.16n = 256mn vì ab = 3840 nên 256mn = 3840 => mn = 15
Lập bảng: 
m
n
a
b
1
15
16
240
3
5
48
80
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là : 16 và 240, 48 và 80.
Bài 3 : Tìm hai số tự nhiên a,