Bài tập Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 6: Tìm chữ số tận cùng

CHUYÊN ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
DẠNG 1: TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG
TÍNH CHẤT 1:
LÝ THUYẾT:
Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. 
Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì...hợp trên, từ tính chất 1d => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar. 
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 
a) 799   b) 141414   c) 4567
Lời giải : 
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 : 
99 - 3 = 96 chia hết cho 4 
=> 99 = 4k + 3 (k thuộc N) => 799 = 74k + 3 = 74k.73
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 3.
b) Dễ thấy 1414 – 2 = 1412 chia hết cho 4 => 1414 = 4k + 2 (k t...ách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. 
Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 +  + 20048009. 
Lời giải : 
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, , 2004}). 
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng : 
(2 + 3 +  + 9) + 199.(1 + 2 +  + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 +  + 9) + 9 =... là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. 
Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 +  + 20048011. 
Lời giải : 
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, , 2004}). 
Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ;  
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8...có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 không chia hết cho 5. 
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. 
Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau : 
Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương : 
a) M = 1...vẫn không thay đổi. 
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. 
21 + 35 + 49 +  + 20038005 = (2+3+4+5+6+7+8+9) + 199.(1+2+3+4+5+6+7+8+9) + (1+2+3) = 200.9.10:2 + 5 = 9000 + 5 = 9005
Vậy 21 + 35 + 49 +  + 20038005 chia cho 5 dư 0
23 + 37 + 411 +  + 20038007 cho 5 
Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + ...Vậy chữ số tận cùng của tổng 23 + 37 + 411 +  + 20038007 là 5 => 23 + 37 + 411 +  + 20038007 chia cho 5 dư 0.
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của X, Y : 
X = 22 + 36 + 410 +  + 20048010 
Y = 28 + 312 + 416 +  + 20048016 
Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau : 
U = 21 + 35 + 49 +  + 20058013 
V = 23 + 37 + 411 +  + 20058015 
Bài 4 : Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 
19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004. 
* Các bạn thử nghiên cứu ...hữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. 
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau : 
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 25. 
Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq 4 ta có :
x = am = aq(apn - 1) + aq. 
Vì an - 125 => apn - 1 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1) 100. 
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai c...ận cùng của aq và av. 
Bài toán 7 : 
Tìm hai chữ số tận cùng của các số : 
a)   22003     b)  799 
Lời giải : a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 25. 
Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) 25 => 23(220 - 1) 100. Mặt khác :
22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N). 
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08. 
b)   Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n ... - 1 4 => 5(516 - 1) 20 
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43. 
Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18. 
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp. 
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng. 
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a =