Bài tập Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 8: Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ 8: BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SO SÁNH HAI SỐ
Bài vận dụng:
10750 và 7375
291 và 535
544 và 2112
19920 và 200315
339 và 1121
98 và 89
333444 và 444333
5143 và 7119 (*)
21995 và 5863 (*)
3976 . 42015 và 71997 (*)
DẠNG 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Bài tập minh họa:
Bài 1: 
Cho biểu thức: A = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 và B = 3101 – 1. Chứng minh rằng: A < B.
Cho A = 1 + 4 + 42 +  + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3
Cho H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 và B = 10100....: Chứng minh rằng: 12- 13+ 14- 15++198- 199
Chứng minh rằng: 0,2 < A < 0,4.
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Bài 5: Cho . Chứng minh: 
Bài 6: Cho . Chứng minh: 
Bài 7: Cho . Chứng minh: 
Bài 8: Cho . Chứng minh 97 < N < 98.
Bài 9: Cho . Chứng minh 
Bài 10: Cho . Chứng minh B < 100.
DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 14-x4-x đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: Tìm x thuộc số nguyên sao cho b...3, 4, , 50.
Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất.
Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 14+x đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 5x-19x-4 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 10x + 252x +4 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 3x + 7x-1 đạt giá trị n...ao cho số đó có giá trị:
Lớn nhất
Nhỏ nhất
DẠNG 4: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỀ TÌM KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA SỐ PHẢI TÌM
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm hai số nguyên dương sao cho tích của hai số ấy gấp đôi tổng của chúng.
Bài 2: Viết phân số 14 thành tổng của hai phân số có tử bằng 1, mẫu dương và khác nhau.
Bài 3: Tìm hai số tự nhiên sao cho tổng của hai số ấy bằng tích của chúng.
Bài 4: Tìm ba số nguyên tố a, b, c khác nhau sao cho: abc < ab + bc + ca
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm số tự nhiên có...ằng 1.
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
DẠNG 1: SO SÁNH HAI SỐ
Bài vận dụng:
10750 và 7375
10750 < 10850 = (4.27)50 = 2100. 3150 (1)
7375 > 7275 =(8.9)75 = 2225.3150 (2)
Mà 2100 .3150 < 2225. 3150 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 10750 < 7375
291 và 535
291 = (213)7 = 81927 
535 = (55)7= 31257
=> 291> 535
544 và 2112
Có 544 = (2.27)4 = (2.33)4 = 24.312
2112 = (3.7)12 = 312.712
712 > 24 => 544 < 2112
19920 và 200315
19920 < 20020 = (8.25)20 = (23 . 52)20...33444 > 444333
DẠNG 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Bài tập minh họa:
Bài 1: 
Cho biểu thức: A = 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 3100 và B = 3101 – 1. Chứng minh rằng: A < B.
Ta có: A + 1 = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 3100 = 3101-13-1 = 3101-12
A = 3101-12 – 1 = 3101-32 < B = 3101 – 1 (đpcm).
Cho A = 1 + 4 + 42 +  + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3
A = 1 + 4 + 42 +  + 499 = 4100-14-1 = 4100-13 < 41003 = B3 
Cho H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 và B = 10100. Chứng minh rằng H ... 13 + 13 - 14 ++ 199 - 1100 
Do đó: E < 14 + 12 - 1100 < 34 (ĐPCM)
Bài 3: Cho . Chứng minh: 
Giải:
Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn, các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số tăng thêm, do đó:
C < 23.45.67 ..200201 (2)
Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được:
C2 < (12.34.56 ..199200).(23.45.67 ..200201)
Vế phải c... 12100 
Thay các phân số trong mỗi dấu ngoặc bằng phân số nhỏ nhất trong dấu ngoặc đó, ta được:
A > 1 + 12 + 122.2 + 123.22 ++ 12100.299 - 12100 = 1 + 12.100 - 12100 > 50
Bài 5: Chứng minh rằng: 
Giải:
A < 10-110! + 11-111! + 12-112! +  + 1000-11000!
= 19! - 110! + 110! - 111! + 111! - 112! ++ 1999! - 11000! 
= 19! - 11000! < 19! (đpcm).
Bài 6: Cho . Chứng minh: 
Giải:
Ta có: 
Bài 7: Cho . Chứng minh: 
Bài 8: So sánh với 
Giải:
L = 12.23.34.1920 = 120 > 121
Bài 9: C...hứng minh rằng: 43<C<2,5
Giải:
Ta tách C thành 3 nhóm:
C=111+112++130+131+132++150+ 151+152++170 
C > 130.20 + 150.20 + 170.20 = 23 + 25 + 27 = 137105 = 113 = 43 (1) 
Tiếp tục, ta tách tổng C thành 6 nhóm:
C=111+112++120+121+122++130+131+132++140+141+142++150+151+152++160+161++170
C < 111.10 + 121.10 + 131.10 + 141.10 + 151.10 + 161.10 
C < 1 + 12 + 13 +14 + 15 + 16 = 1 + 12+13+16+14+15 < 2 + 0,5 = 2,5 (2)
Từ (1) và (2) => 43<C<2,5 đpcm
Bài 2: Chứng minh rằng...g dấu ngoặc thứ nhất < 25 , còn các dấu ngoặc trong biểu thức đều dương, do đó A < 25.
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Giải:
A = 122 + 142 + 162 ++11002 = 1221+ 122+ 132++1502 < 141+11.2+12.3++149.50 = 141+1-150 < 12 . (đpcm)
Bài 5: Cho . Chứng minh: 
Giải:
Ta có: 2(2n+1)2 < 22n.(2n+2) = 12n - 12n+2
Thay n = 1, 2, 3, , 1003
Ta có: A < 12 - 12008 = 10032008 (đpcm)
DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao