Kỳ thi chọn HSG vòng huyện Môn Toán 9 NH 2020-2021 Phòng GD&ĐT Huyện Hòa Bình (Kèm hướng dẫn chấm)

 UBND HUYỆN HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2020 -2021 
 MÔN : TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 LỚP : 9 
 (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian : 150 phút 
 (Không kể thời gian giao đề) 
 ĐỀ 
Câu 1: (5 điểm) 
 a) Chứng minh rằng A n 5 n chia hết cho 30 với n Z 
 b) Chứng minh: B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. 
 (với x, y Z ) 
Câu 2: ( 5 điểm ) 
 a) Giải phương trình: x2 4 x 5 2 2 x 3 
 x2 2 y 3
 b) Giải hệ phương trình: 
 2
 y 2 x 3
Câu 3: ( 5 điểm ) 
 a) Tìm GTNN của biểu thức : M 5 x2 y 2 z 2 4 x 2 xy z 1 
 b) Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng: 
 p p p
 9 
 p a p b p c
Câu 4: ( 5 điểm ) 
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB 
vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B). 
Kẻ MH vuông góc với AB tại H. 
 a) Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm. 
 b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi I 
là giao điểm của AD và BC. Chứng minh M, I, H thẳng hàng. 
 c) Vẽ đường tròn tâm (O’) nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB ở K. 
 Chứng minh diện tích S AMB = AK.KB 
 -----Hết----- 
 UBND HUYỆN HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2020 -2021 
 MÔN : TOÁN 
 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) LỚP : 9 
 Thời gian : 150 phút 
 HƯỚNG DẪN CHẤM 
 Câu 1:( 5,0 điểm) 
 a) (2,5đ) Chứng minh rằng A n 5 n chia hết cho 30 với n z 
 A = a5 - a = a(a2 - 1)(a2 + 1) (0,5đ) 
 = a(a2 - 1)(a2 - 4 + 5) (0,25đ) 
 = (a – 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a – 1)a(a + 1) (0,5đ) 
 Do (a – 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 
 2;3;5. Do đó chia hết cho 30 (0,25đ) 
 Do (a – 1)a(a + 1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2;3. Do đó chia 
 hết cho 6 (0,25đ) 
 5(a – 1)a(a + 1) 30 (0,25đ) 
 Vậy A = a5 - a  30 (0,25đ) 
 Từ (1) và (2) và 5;6 1 nên A30 với n Z 
 (0,25đ) 
 b) (2,5đ) Ta có B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 
 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 (0,5đ) 
 = x2 5 xyyyx 5 2 2 2 5 xyyy 5 2 2 y 4 (0,5đ) 
 2
 x2 5 xy 5 y 2 y 4 y 4 (0,5đ) 
 2
 x2 5 xy 5 y 2 (0,5đ) 
 Vì x, y Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z 
 Vậy B là số chính phương. (0,5đ) 
 Câu 2: ( 5 điểm ) 
 a) (2,5 điểm) 
 3
 Điều kiện: x (0,25đ) 
 2
 x2 4 x 5 2 2 x 3 
 x2 2 x 1 2 x 4 2 2 x 3 0 (0,5đ) 
 x2 2 x 1 2 x 3 2 2 x 3 1 0 (0,5đ) 
 2
 x 1 2 2 x 3 1 0 (0,5đ) 
 x 1 0 x 1
 (TMĐK) (0,5đ) 
 2x 3 1 x 1
 Vậy nghiệm của phương trình là x=-1 (0,25đ) 
 b) (2,5 điểm) 
 x2 2 y 3
 Ta có: 
 y2 2 x 3
 x2 y 2 2 y 2 x 0
 2
 y 2 x 3
 (0,5đ) 
 x y x y 2 0
 (0,5đ) 
 2
 y 2 x 3
 x y 0 x y 2 0
 2 I hoặc 2 II 
 y 2 x 3 y 2 x 3 (0,5đ) 
 +Giải hệ PT (I) tìm được nghiệm là 
 1; 1 ; 3;3  (0,5đ) 
 +Giải hệ PT (II) tìm được nghiệm là (-1;-1) (0,25đ) 
 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S 1; 1 ; 3;3  (0,25đ) 
Câu 3: ( 5 điểm ) 
 a) (2,5 điểm) Tìm GTNN của biểu thức : 
 M 5 x2 y 2 z 2 4 x 2 xy z 1 
 2 2 2 2 1 9
 M x 2 xy y 4 x 4 x 1 z z (1,0đ) 
 4 4
 2
 2 2 1 9 9
 M x y 2 x 1 z (1,0đ) 
 2 4 4
 9 1
 Vậy MinM = x y z (0,5đ) 
 4 2
 b) (2,5 điểm) 
 BĐT cần chứng minh được viết lại thành: 
 1 1 1 9
 (0,5đ) 
 p a p b p c p
 a2 b 2 c 2() a b c 2
 ta có: (0,5đ)
 Áp dụng BĐT x y z x y z 1 1 1 (1 1 1)2 9 9
 (1,5đ)
 papbpcpapbpc 3 pabc ( ) p 
Câu 4: ( 5 điểm ) 
 Vẽ hình đúng (0,25đ) 
 x y
 D
 M
 C
 I
 A H K O B
 a) Tam giác AMB vuông tại M có MH là đường cao 
 MH2 = AH.BH (0,75đ) 
 MH = AH. BH = 3.5 15 (cm) (0,5đ) 
 b) Vì AC song song với BD nên ta có 
 AC AI CM
 ( Vì AC = CM; BD = MD) (0,75đ) 
 BD ID MD
 MI//AC. Mà MH//AC (vì cùng vuông góc AB) (0,5đ) 
 M, I, H thẳng hàng (0,25đ) 
 c) Đặt AB = a; AM = c; BM = b 
 a c b a b c
 Ta có: AK = ; BK = (0,5đ) 
 2 2
 acbabc 1 ( acbabc )( ) 
 AK.BK = .. (0,25đ) 
 2 2 2 2 
 1 a2 ( b c ) 2 1 a2 ( b 2 c 2 ) 2 bc 
 = (0,5đ) 
 2 2 2 2 
 1 2bc 1
 = . bc (0,5đ) 
 2 2 2
 1
 = AM. BM = S 
 2 AMB
 Vậy S AMB = AK.KB (0,25đ) 
 -----Hết----- 
 Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó