Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 1- Số tự nhiên - Chủ đề 3: Phương pháp tính tổng của dãy số tự nhiên

	ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN
	CHỦ ĐỀ3: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ TỰ NHIÊN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. DÃY SỐ TỰ NHIÊN
+ Cho dãy số tự nhiên : 
- : số hạng thứ 1 .
- : số hạng thứ 2 .
- : số hạng thứ 3 .
- : số hạng thứ .
- tổng dãy số tự nhiên có số hạng.
2. DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÁCH ĐỀU
+ Dãy số tự nhiên cách đều: Hiệu hai số hạng liên tiếp luôn luôn không đổi.
- (hằng số).
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều 
I. Phương pháp giải
Cần tính tổng: .	(1)
Vớ... . 
Lời giải:
Số số hạng của dãy là . 
Tổng .
Bài 6: Tính tổng các số tự nhiên có hai chữ số? . 
Lời giải:
Cách 1:
Các số tự nhiên có hai chữ số là 
Số các số này là: số
Ta có:
Cộng (1) với (2) và áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng ta được:
Nên 
Cách 2:
Số số hạng của dãy: 
(khoảng cách 2 số hạng liên tiếp của dãy là 1, số hạng đầu của dãy là 10, số hạng cuối của dãy là 99)
Tổng của dãy: 
Bài 7: Tính tổng của 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên? . 
Phân tích:
Để giải ...vào, ta được các cặp số đều có tổng là 42
Số cặp số là: (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 21
Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 
Bài 9: Tính tổng .
Lời giải
Ta có 
Xét tổng là tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 105, các số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đều nhau 2 đơn vị.
Tổng này có: số hạng.
Ta có tổng 
Dạng 2: Tổng có dạng (1)
I. Phương pháp giải
TH 1: Nếu thì .
TH 2: Nếu để tính tổng ta làm như sau
Bước 1: Nhân hai vế của với số ta được 
Bước 2: Lấ...triệt tiêu và tính được tổng S.
Lời giải:
Ta có 
Bài 5: Tính tổng .
*) Phân tích: Nhận thấy các số hạng từ đến đều có cùng tử số là 5, và kể từ số hạng thì các số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu nhân 7 vào tổng S thì ta được tổng 7S có các số hạng từ đến giống như trong tổng S. Do đó nếu lấy tổng 7S trừ đi tổng S thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu, từ đó tính được tổng S.
Lời giải:
Ta có 
Bài 6: Tính tổng .
*) Phân tích: Nếu quy đồng phân số bài toán thì k...)
Lời giải:
Nhân vào hai vế với ta được: (2)
Lấy theo vế : 
Bài 2: Tính tổng sau:(1)
Lời giải:
Đặt 
Ta có: 
Bài 3: Tìm giá trị của biết: 
Lời giải:
Đặt (1)
Nhân vào hai vế với ta được: (2)
Lấy theo vế : 
Vì . 
Vậy là giá trị cần tìm.
Bài 4: Tìm giá trị của biết: , với 
Lời giải:
Đặt (1).
Nhân cả hai vế của (1) với ta được: (2).
Lấy theo vế ta được: 
Theo bài cho: 
 (thỏa mãn).
Vậy .
Bài 5: Chứng minh rằng: chia hết cho 26.
Lời giải:
Phân tích: Ta nhóm 2 thừa số liền kề đ...Bước 1: Nhân cả 2 vế của với ta được: 
Bước 2: Lấy ta được:
Vậy 
II. Bài toán
Bài 1: Tính tổng .
Lời giải:
Áp dụng công thức với ta được:
.
Bài 2: Tính tổng .
Lời giải:
Áp dụng công thức với ta được :
.
Bài 3: Tính tổng .
*) Phân tích: Nhận thấy, kể từ số hạng thứ hai thì mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu ta nhân vào tổng S, ta được tổng có các số hạng từ Đến giống như trong tổng S. Khi đó ta lấy tổng trừ cho tổng S thì các số hạng từ đến bị triệt ...g .
II. Bài toán
Bài 1:Tính tổng: .
Phân tích: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 1. 
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của với 3 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 3 này được viết dưới dạng ở số hạng thứ nhất, ở số hạng thứ hai, ở số hạng thứ ba, , ở số hạng cuối cùng.
Lời giải:
Ta có: 
.
Suy ra: .
Bình luận: Ta thấy: là tích của ba thừa số, trong đó là hai thừa số của số hạng lớn nhất trong tổng, c... tổng: 
Lời giải:
Ta có 
Bài 4: Chứng minh rằng với 
Lời giải:
Ta có 
 Vậy 
Dạng 6: Tổng có dạng: 
I. Phương pháp giải
Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng : 
Lời giải:
Mà (Theo dạng bài trước)
Vậy 
Do đó, ta có công thức tính dãy số: 
II. Bài toán
Bài 1: Tính tổng sau: 
Lời giải:
Ta có 
Lại có 
Bài 2: Tính tổng sau: 
Lời giải:
Ta có tổng 
Trong đó 
Vậy 
Bài 3: Tính tổng sau: 
Lời giải:
Áp dụng tổng 
 mà theo dạng 5 thì ta có 
Bài 4: Tính tổng sau: 
Lời giải:
Áp dụng...minh công thức như sau: (đpcm).
Nhận thấy tổng có số hạng, từ đó ta có:
.
.
.
Cách 3: Ta sẽ tính tổng dựa vào tổng dạng và tổng dạng .
Ta có 
.
Đặt và .
Ta có: 
.
Ta có: .
Số số hạng của tổng là: .
.
.
.
Vậy .
Cách 4: Ta sẽ tính tổng dựa vào tổng dạng và tổng dạng .
Đặt .
.
.
Đặt 
.
.
Đặt . 
Ta có là tổng của n số nguyên dương đầu tiên nên .
Suy ra 
Vậy .
Xét 
Vậy .
II. Bài toán
Bài 1. Tính tổng .
Phân tích: Đây là bài toán cụ thể của dạng này với . 
Lời giải:
.... hạng, và ghép được đủ 51 cặp 	
Ta có 
, theo dạng 5 ta có:
Vậy 
Bài 6: Tính tổng 
Lời giải:
Áp dụng tổng 
Tổng này có 2009 số hạng, nên khi thêm số hạng ta được tổng có 2010 số hạng, và ghép được đủ 1005 cặp số
Ta có
Bài 6: Tính tổng 
Lời giải:
Áp dụng tổng 
 theo dạng 5 ta có: 
Bài 7: Tính tổng 
Lời giải:
Áp dụng tổng 
 ta có: 
Dạng 8: Tổng có dạng: (k lẻ và )
I. Phương pháp giải
Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng : 
Ta có: 
Suy ra: 
Áp dụng tổng 
=2.S
Suy ra: mà 
Vậy