Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 4: Dãy số viết theo quy luật, dãy cộng và các dãy khác

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 4. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT: DÃY CỘNG VÀ CÁC DÃY KHÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Dãy cộng là dãy số có mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) đều lớn hơn số hạng liền trước nó cùng một số đơn vị.
- Dãy cộng là dãy số cách đều
- Một số phương pháp giải:
Phương pháp 1: 
+ Tính số các số hạng trong tổng theo công thức :
+ Nhóm hai số hạng thành một cặp sao cho giá trị trong mỗi cặp bằng nhau. (Lưu ý có thể nhóm vừa hết các số hạng thành các cặp nếu số s...g đó số trừ của hiệu trước bằng số bị trừ của hiệu sau: a1 = b1 – b2 , a2 = b2 – b3 , ..., an = bn – bn+ 1 .
 Khi đó ta có ngay An = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1 
Phương pháp 5: Phương pháp dự đoán và quy nạp.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1:Tính tổng các số hạng cách đều
I.Phương pháp giải
Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:
Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: 
Bước 2: Tính ...ch 2:
Số số hạng của dãy: (số hạng)
(khoảng cách 2 số hạng liên tiếp của dãy là 1, số hạng đầu của dãy là 10, số hạng cuối của dãy là 99)
Tổng của dãy: 
Bài 1: Tính giá trị của biết .
Lời giải: 
Dãy số trên có số số hạng là (số hạng)
Giá trị của là 
Đáp số: 
Bài 3: Cho dãy số: Tìm số hạng thứ của dãy số trên?
*) Phân tích: Từ công thức 
Ta có: 
Lời giải: 
Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là 
Đáp số: 4028
Bài 4: Tính tổng số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là ?
*) Ph...rong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.
Lời giải: 
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là 
Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là 
Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là (bài toán tổng hiệu quen thuộc)
Đáp số: 47
Bài 6: Tính tổng của số lẻ liên tiếp đầu tiên.
*) Phân tích: 
Để giải bài toán ta cần xác định được q...ó tổng là 42
Số cặp số là: (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 21
Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 
Bài 7: Tính tổng của .
*) Phân tích: 
Nhận thấy dãy số là dãy số tự nhiên cách đều. Khoảng cách giữa hai số hạng liền kề là 1. Để tính tổng ta vận dụng cả bốn phương pháp đầu đã nêu đều được cụ thể ta có các cách giải sau:
Lời giải:
Cách 1: Tổng có số số hạng là: (số hạng)
Do đó ta có thể chia thành 1010 cặp và dư 1 số hạng chẳng hạn số 2021
Cách 2: 
Tổng có số ...đến trình bày bài toán theo cách sau gọn hơn:
Nhận xét: Ở cách 5 dùng phương pháp khử liên tiếp. Mỗi số hạng của A (chỉ có một thừa số ) và khoảng cách giữa hai số hạng là 1 ta đã nhân A với 2 lần khoảng cách
Bài 8: Tính tổng .
Lời giải: 
Cách 1: 
Ta có: 
Cách 2: 
Cách 3:
Bài 9: Tính tổng .
Lời giải: 
Tổng có: (số hạng)
Bài 10: Tính tổng .
Lời giải:
Tổng có: (số hạng)
Bài 11: Tính tổng .
*) Phân tích: 
Đây là ví dụ mà các số hạng trong tổng vừa là số nguyên, vừa là phân số. Để tì... tổng .
Lời giải: 
Tổng A có (số hạng)
Bài 15: Cho .
a) Tính tổng trên.
b) Tìm số hạng thứ 33 của tổng trên.
Lời giải: 
+ Số hạng đầu là: 7 và số hạng cuối là: 99. 
+ Khoảng cách giữa hai số hạng là: 2 
+ có số số hạng được tính bằng cách 
Tổng của dãy: 
b) Số hạng thứ 33 của tổng trên là :
Bài 16: Cho dãy số 
a) Nêu quy luật của dãy số trên.
b) Viết tập hợp gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đó, bắt đầu từ số hạng thứ năm.
c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số.
Lời giải: ...số ; 
chữ số hàng đơn vị của số ở hàng số .
b) Ta có: 
Khi đó số thứ 81 có 3 chữ số là: .
Chữ số viết ở hàng thứ là chữ số 1.
Bài 18: Tính tổng .
Lời giải: 
Ta có 
Xét tổng là tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 105, các số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đều nhau 2 đơn vị
Tổng này có: số hạng
Ta có tổng 
Bài 19: Tính tổng .
Lời giải: 
*) Nhận xét: Như vậy tùy từng dạng bài và mức độ tiếp thu kiến thức của mỗi học sinh, thầy cô có thể vận dụng linh hoạt các phương pháp giải sao ch....
Dạng 2: Tổng có dạng 
hoặc 
I.Phương pháp giải
Bước 1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số ta được: 
 hoặc 
Hoặc 
Bước 2: Lấy vế với vế ta được: 
Lấy vế với vế ta được: 
II.Bài toán
Bài 1: Tính tổng .
*) Phân tích: Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với 2. Do đó nếu ta nhân 2 vào tổng thì ta có tổng với các số hạng từ 2 đến giống như trong tổng , khi đó nếu lấy số tổng trừ đi tổng thì các số hạng từ 2 đến bị triệt tiêu và tính được tổn...p theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu nhân 7 vào tổng thì ta được tổng có các số hạng từ đến giống như trong tổng . Do đó nếu lấy tổng trừ đi tổng thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu, từ đó tính được tổng .
Lời giải: 
Ta có 
Bài 3: Tính tổng .
*) Phân tích: Nếu quy đồng phân số bài toán thì khá phức tạp. Nhận thấy các số đều chia hết cho 9, do đó ta sẽ phân tích các số này thành tích của 9 với một thừa số nào đó để xem có xuất hiện tổng theo quy luật hay không, từ đó có hướn