Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 10: Số thập phân - Chủ đề 2: Số thập phân vô hạn tuần hoàn

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 – SỐ THẬP PHÂN 
CHỦ ĐỀ 2: SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. KHÁI NIỆM
a) Khái niệm:
Khi viết phân số dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia cho , nếu phép chia cho không bao giờ chấm dứt
Ví dụ: ;; 
Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số lặp đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của ...ÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN ĐƠN HAY TẠP.
- Nếu một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết thành số thập phân vô hạn tuần hoàn. Đặc biệt
 +) Nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn.
	+) Nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.
	+) Ví dụ: khi chia cho được số thập phân vô hạn, Ta có: 
Số cũng có thể viết dưới dạng hoặc . So với cách viết có chu kì 21 thì cá...phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số:
	+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. Ví dụ:
	+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằn...n vô hạn tuần hoàn.
Vậy: 
b) Xét phân số 
 mẫu của phân số có ước nguyên tố là nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vậy: 
c) Xét phân số 
 mẫu của phân số có ước nguyên tố là nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vậy: 
d) Xét phân số 
 mẫu của phân số có ước nguyên tố là nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vậy: 
e) Xét phân số 
 mẫu của phân số có ước nguyên tố là nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vậy: = 
Bà...p mà phần bất thường có hai chữ số và chu kì có 1 chữ số là .
Ta lại có: nên chữ số thập phân thứ sau dấu phẩy của số là chữ số .
c) Ta có: là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn mà chu kì gồm 16 chữ số.
Mà: , suy ra chia 16 dư 0 nên chữ số thập phân thứ sau dấu phẩy là chữ số 9.
Dạng 2: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số
I.Phương pháp giải:
- Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số với
+ Tử: là chu kì
+ Mẫu: là một số gồm các chữ ... 
g) 
Bài 4: 
Các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau có bằng nhau không ?
; ; 
Lời giải:
Ta có: 
Vậy = = 
Nhận xét: Như vậy từ phân số ta có thể viết được các dạng nhiều số thập phân vô hạn tuần hoàn khác nhau như ; ; ;nhưng cách viết thuận tiện hơn, do đó người ta chọn cách viết này.
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức số
I.Phương pháp giải:
Để thực hiện các phép tính về số thập phân vô hạn tuần hoàn trước hết ta viết chúng dưới dạng phân số tối giản rồi thực hiện các phép toán trên phân s... phân số trên.
Vậy 
Bài 9: 
Cho số trong đó ở bên phải dấu phảy ta viết các số từ 1 đến 999 liên tiếp nhau. Chữ số thứ ở bên phải dấu phảy là chữ số mấy? Vì sao?
Lời giải:
Xét dãy 2003 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của . Gọi chữ số thứ là .
Chia dãy số trên thành ba nhóm: 
Nhóm I có chữ số, nhóm II có chữ số, nhóm III có:
 (chữ số).
Ta thấy chia được dư .
Số thứ kể từ là: .
Hai chữ số tiếp theo số là chữ số và chữ số (thuộc số ).
Vậy .
Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số 
...bị chia là 
Vậy ta có 
Dạng 4: Kiểm tra một biểu thức phân số viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (đơn hay tạp).
I.Phương pháp giải:
Đối với các phân số đó, nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn, nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.
II.Bài toán
Bài 11: 
Chứng tỏ rằng: các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
; ; 
Lời giải:
a)
Ta có: ,...iên , khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân hữu hạn hay vô hạn ? Nếu là số thập phân vô hạn thì số đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn hay tạp?
	a) ;	
	b) 
Lời giải:
a) Ta có: 
Vì mẫu của phân số là nên đổi ra số thập phân hữu hạn.
b) Xét phân số: 
Ta có: 
mà 
 phân số rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 
 phân số đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Mặt khác:
Ta có: 
mà 
 phân số rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ư... thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.
b) Xét phân số 
Tổng các chữ số của tử số là: 
 tử số 
Mà mẫu số là tích của ba số tự nhiên liên tiếp 
Do đó phân số rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 
 khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Mặt khác: ; 
 phân số rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 
Vậy khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.
Bài 14: 
Cho phân số: 
a) Chứng tỏ C là