Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 20: Sự đối xứng hai bên trong Hình học, khái niệm điểm và đường trung tâm

Chuyên đề 20: Sự đối xứng hai bên trong Hình học, khái niệm điểm và đường trung tâm
Người viết: Nguyễn Thanh Dũng
ĐT: 01689.390.545
Lý thuyết 
Bạn đọc chú ý đây là một cách nhìn nhận riêng của tác giả về hình học phẳng, có thể từ đó sẽ là cơ sở cho việc xây dựng định lí hay hệ thống liên quan hình học sau này. Tuy rằng bài viết này chưa đưa ra được định lí hay tính chất nào thực sự đặc biệt về sự đối xứng hai bên hay yếu tố trung tâm cùng với mối liên hệ của chúng, tuy nhiên sẽ cố gắng đưa r...m có tính điểm đối xứng hai bên đối với đường thẳng trung tâm d gọi là cặp điểm liên hợp thứ nhất, A gọi là điểm trung tâm thứ nhất, đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC gọi là đường tròn trung tâm thứ nhất.
Lấy một họ các điểm ở hai bên đường thẳngd, họ điểm này chia làm hai phần có số lượng điểm như nhau và có kiến trúc hình thành như nhau. Thế thì ta thu được một hình có tính chất đối xứng hai bên. Hình gọi là hình đối xứng hai bên qua đường thẳng trung tâm d.
Định nghĩa 2: Hai điểm A và ...goại tiếp, tâm nội tiếp, tâm Euler, chân đường phân giác, chân đường cao góc A. gọi là họ các điểm trung tâm cơ sở. Tất cả các đường thẳng, đường tròn có tính duy nhất đối với tam giác ABC, ví dụ như: đường cao, đường nối A với tâm ngoại tiếp O, đường trung tuyến, phân giác gócA, đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, Euler, gọi là họ các đường trung tâm cơ sở. 
Định nghĩa 7: Hình đối xứng hai bên sẽ bao gồm các yếu tố quan trọng sau:
+ Đường thẳng trung tâm loại 1: Đi hai điểm trung tâm
+ Đường th...tố trung tâm cũng là trung tâm, giao của hai yếu tố liên hợp cũng là trung tâm.
Định nghĩa 9: Hình trung tâm (tam giác, tứ giác, đường thẳng, đường tròn) là hình đi qua một số điểm trung tâm và một số cặp điểm liên hợp. Hai hình , gọi là hai hình liên hợp nếu đi qua một họ điểm liên hợp với .
Dự đoán: Các điểm trung tâm, đường trung tâm có liên hệ mật thiết với nhau như tính thẳng hàng, tính đồng viên, đồng quy (cùng nằm trên đường tròn), tính vuông góc, tính song song. Các bài toán được xây d...mô hình cụ thể sau đây: 
Mô hình 1: Hệ thống trung tâm và đối xứng hai bên tự có của tam giác.
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), có trực tâm H, trọng tâm G. Các đường cao BF, CE cắt (O) tại P, Q, các trung tuyến BN, CM. Thế thì ta có một hệ thống như sau:
1, Hệ thống điểm trung tâm có sẵn: O, G, H, A, trung điểm S của BC, D là chân đường caođỉnh A.
2, Hệ thống đường trung tâm có sẵn: đường thẳng EulerOH, đường thẳng BC, đường cao AH, trung tuyến AS, đường tròn Euler, đường tròn (ABC). 
3, Cặp ...à X nằm trên đường thẳng trung tâm Euler! 
Phần chứng minh dành cho bạn đọc sau khi đã đọc hết chuyên đề này! Bạn đọc có thể tự xây dựng mô hình ví dụ như dựa liên hệ tới phân giác, tâm nội tiếp của tam giác. 
Mô hình 2: Hệ thống trung tâm và đối xứng hai bên tự có của tam giácqua việc chọn cụ thể một đường thẳng d là đường thẳng trung tâm thứ nhất. 
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và có trực tâm H. Gọi D là trung điểm của BC và AD cắt lại (O) tại S. Chọn AS là đường thẳng trung tâm. Khi đó, S ...ng tròn trung tâm loại 3.
Kết luận: Vậy có phải ta đã tạo được bài toán mới hay không? Bạn đọc hãy thử chứng minh xem bài toán dễ hay khó. Nếu thực sự là khó thì ta đã tạo ra một bài toán mới thật. Điểm hay ở đây là ta xây dựng một cách đối xứng, có đường lối, có ý định cụ thể đó là “tạo ra các điểm trung tâm sau đó xem xét nó quan hệ gì với các điểm trung tâm đã, đường trung tâm đã có”. 
Phân tích một số định lí Hình học theo quan điểm đối xứng hai bên
1, Định lí Con bướm: Cho dây cung AB vớ...t biểu ở chuyên đề 0, ta có định lí Pascal cho 6 điểm ABCDEF với các giao điểm tương ứng là X, Y, Z. Ta xét góc nhìn đối xứng như sau.
Phân tích: Xét tam giác ABC với đường trung tâm thứ nhất là AD. Trên hai cung liên hợp AB, AC lấy hai điểm E, F bất kì coi như liên hợp. Khi đó dễ thấy X, Y là liên hợp và XY là đường trung tâm. Hơn nữa, Z là giao của {CE, BF} liên hợp nên Z là trung tâm. Định lí cho thấy rằng điểm trung tâm Z nằm trên đường trung tâm XY. 
3, Định lí Brocard
Cho tứ giác ABDC n...ểm liên hợp {B, C}, {E, F}, {P, Q}. Khi đó ba giao điểm X, Y, Z là các điểm trung tâm loại 2. Định lí Papus nói rằng ba điểm trung tâm X, Y, Z thẳng hàng. 
Bài tập minh họa
Phân tích tính đối xứng, tìm ra yếu tố đối xứng và yếu tố trung tâm để giải quyết bài toán đối xứng hai bên. 
Ví dụ 1: (IMO 2004, #1) Cho tam giác nhọn ABCkhông cân tại A. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC tại M, N tương ứng. Kí hiệu O là trung điểm BC. Phân giác các góc cắt nhau tại R. CMR đường tròn ngoại tiếp...g phương là KR, BM, CN nên chúng đồng quy tại K. Các tứ giác BMRK, CNRK nội tiếp nên 
, thế nên B, K, C thẳng hàng khi và chỉ khi . Cho nên ta chỉ cần chứng minh AMNR nội tiếp là xong. Vì OR là trung trực của MN và AR là phân giác góc A nên R nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nên tứ giác AMNR nội tiếp
Nhận xét: Ta đã quy bài toán về yếu tố trung tâm, đó là đường thẳng AR, sau đó giải quyết bài toán bằng một tứ giác trung tâm AMNR. 
Ví dụ 2: (Nguyễn Thanh Dũng) Cho tam giác ABC nội t