Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ
Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.PHÉP CHIA HẾT
Với a, b là các số tự nhiên và b khác 0. Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho .
2.TÍNH CHẤT CHUNG
1) và thì .
2) với mọi a khác 0.
3) với mọi b khác 0.
4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1.
3.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU
- Nếu a, b cùng chia hết cho m thì chia hết cho m và chia hết cho m.
- ...hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ của số số đó chia hết cho 3 (hoặc 9).
 *) Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.
c) Dấu hiệu chia hết cho 5: một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): một số chia hết ch...ặc một biểu thức số
I.Phương pháp giải:
-Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử (phân tích thành thừa số) để xét tính chất chia hết.
- Chứng minh hai biểu thức cùng chia hết cho một biểu thức số khác
II.Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng: chia hết cho 82
Lời giải
Ta có (đpcm) 
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) 	b) 
c) 	d) và 222
e) .
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có 	
c) Ta có 
d) Ta có 
e) Ta có 
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) 	b) 	
c) 	
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có 
Mà 
Mà 
Từ và (đpcm...Cho . Chứng minh rằng B chia hết cho 4.
Lời giải
Ta có:
Bài 9: Cho . Chứng minh rằng C chia hết cho 30.
Lời giải
Ta có: 
Bài 10: Cho . Chứng minh rằng D chia hết cho 3, 7, 15.
Lời giải
Ta có: 
Bài 11: Cho . Chứng minh rằng E chia hết cho 13 và 41.
Lời giải
Ta có: 
Bài 12: 
a) Chứng minh rằng: 
b) Chứng minh rằng: 
c) Chứng minh rằng: 
d) Chứng minh rằng: (có 100 số hạng) chia hết cho 120.
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có: 
c) Ta có ta đi chứng minh S chia hết cho 13 và 2
Ta có S ...hân tích đa thức thành nhân tử (phân tích thành thừa số) để xét tính chất chia hết.
-Vận dụng các tính chất chia hết của một tổng, một hiệu.
II.Bài toán
Bài 15: Chứng minh rằng:
a) ,	b) với mọi n lẻ và 
c) 	.	d) 
e) 	
Lời giải
a) Ta có 
vì là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. 
Mặt khác 
Mà là là tích của năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 và chia hết cho 5.
Từ (*) và (**), ta có A chia hết cho 30. 
b) Ta có 
Vì n lẻ nên đặt nên 
Và là tích của 4 ...Phương pháp giải:
- Chứng minh biểu thức có chữ số tận cùng chia hết cho số đó
- Vận dụng tính chất chia hết của một tổng
II.Bài toán
Bài 18: Chứng minh rằng thì tích chia hết cho 2.
Lời giải
Ta xét các trường hợp:
Nếu n là số lẻ thì là số chẵn; là số lẻ.
Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận cùng là số chẵn.
 Mếu n là số chẵn thì là số lẻ; là số chẵn.
Mà tích của một số lẻ với một số chẵn có tận cùng là chữ số chẵn 
Vậy với mọi n thuộc N thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2 (đpcm).
Bài...ia hết cho 11, điều ngược lại có đúng không?
b) Nếu thì cũng chia hết cho 7. 
Lời giải
a) Ta có 
Điều ngược lại cũng đúng 
b) 
Dạng 5: Chứng minh các bài toán có vận dụng tính chất chia hết để tìm số dư.
I.Phương pháp giải:
- Vận dụng tính chất chia hết của một tổng
II.Bài toán
Bài 22:
a) Chứng minh rằng: Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
b) Chứng minh rằng: Tổng của 5 số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, tổng củ...ằng: không chia hết cho 2 và 5, 
Lời giải
a) Ta có: (theo tính chất chia hết của một tổng)
; 45 không chia hết cho 30 
 không chia hết cho 30 (theo tính chất chia hết của một tổng) 
b) Giả sử có số thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì
 không chia hết cho 3
Đó là điều mâu thuẫn.
Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn (đpcm). 
c) Vì là tích hai số tự nhiên liên tiếp, trong hai số liên tiếp luôn luôn có một số chẵn
là số chẵn, cộng thêm 1 là số lẻ.
 là số lẻ
 không chia hết cho 2.
Để chứn...a cách nhau 4 số hạng chia hết cho 82 nên ta nhóm 8 số hạng với nhau và còn dư 4 số hạng
Ta đi chứng minh: 
Thật vậy: (đúng)
Vậy số dư khi chia B cho 82 là số dư của 4 hạng tử còn lại là: cho 82.
Kết luận: số dư là 38.
Bài 27: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khi viết tiếp số đó vào 2015 ta được một số chia hết cho 113
Lời giải
Giả sử n có k chữ số
Theo bài ra ta có: 
Có: 
+) 
+) 
Mà 
Vậy là giá trị cần tìm. 
Bài 28: Chứng minh rằng: Nếu thì đều chia hết cho 37.
Lời giải
Ta...cho 4.
Kết luận: Vậy không phải lúc nào tổng n số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho n
Bài 3: Chứng minh chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên.
Lời giải
Vì nên với mọi a.
Vì nên với mọi b.
Nên .
Chứng minh tương tự ta có: với mọi a, b.
Mà .
.
Bài 4: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Lời giải
Gọi hai số chẵn liên tiếp là:
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 
Vì không cùng tính chẵn lẻ nên chia hết cho 2.
Mà 4 chia hết cho 4 nên chia hết cho