Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ
Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phép chia hết
Với a, b là số TN và b khác 0. Ta nói a chia hết b nếu tồn tại số TN q sao cho 
2. Tính chất chung
 1) a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ c 
 2) a ⋮ a với mọi a khác 0
 3) 0 ⋮ b với mọi b khác 0
 4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
3. Tính chất chia hết của tổng, hiệu
- Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a - b chia hết cho m.
...ố chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
- Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ của số số đó chia hết cho 3 (hoặc 9).
- Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
- Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
- Một số ... số 
I. Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức A chia hết cho số m.
- Viết biểu thức A thành một tổng (hiệu) các số trong đó mỗi số đều chia hết cho m từ đó suy ra A chia hết cho m.
- Viết biểu thức A thành một tích các thừa số trong đó có thừa số chia hết cho m từ đó suy ra A chia hết cho m.
- Viết m thành một tích các thừa số nguyên tố cùng nhau và chỉ ra biểu thức A chia hết cho các thừa số của m từ đó suy ra A chia hết cho m.
- Viết biểu thức A và m thành một tích các thừa số và chỉ ra ...chia hết rồi áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) hoặc tích để chứng minh. 
+ PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh A chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A cho p.
+ PHƯƠNG PHÁP 4: Ngoài ra ta cũng có thể dùng cách tìm chữ số tận cùng của A để chứng minh A chia hết cho một số.
+ PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu A ⋮ m và A ⋮ n, đồng thời m và n là hai số nguyên tố cùng nhau thì A chia hết cho tích m.n
II. Bài toán
Bài 1: Tìm tất cả các cặp số sao cho
a) 	
b) 
c) 
d) 
Lời giải:
a) Ta ... số hàng trăm và hàng đơn vị bằng 9 nên chữ số hàng trăm phải bằng 4
Vậy tổng hai số tự nhiên có dạng: 
Mà 
Tổng của hai số đó là: 
Bài 3: Tìm các chữ số a, b sao cho 
Lời giải:
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 
để Û 
Xét 
Nếu ta có số 
Nếu ta có số 
Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560
 a = 2 và b = 5 ta có số 2560
Bài 4: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh rằng số đó chia hết cho 9.
Lời giải:
Gọi số đã cho là a
Ta có: a và 5a khi chia cho 9 c...Lời giải:
Gọi là số có 2 chữ số
 Theo bài ra ta có:
 Thay vào (1) 
Bài 9: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số . Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Lời giải:
Có 
Vì 2 chữ số tận cùng của a là và 
	Þ 
Tổng các số hàng lẻ 
Tổng các số hàng chẵn 
Có 
Bài 10: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?
Lời giải:
Có 46 số tự nhiên liên tiếp 
Þ có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ 
Þ tổng 23 cặp không chia hết cho 2. 
V...ố 0) có tổng các chữ số = 9 nên chia hết cho 9 và là số chẵn nên chia hết cho 2. Vậy chia hết cho 18 
c) Ta có có tận cùng là 0 suy ra chia hết cho 10. 
Vì tận cùng là 9 do lẻ.
Bài 2: Cho . Chứng minh rằng: 	
b)
Lời giải:
 Ta có 
Bài 4: Giả sử S(a) là tổng các chữ số của số tự nhiên a. Chứng minh rằng
a) 
b) Nếu thì a chia hết cho 9, điều ngược lại có đúng không?
Lời giải:
a) Đặt 
b. 
Ví dụ: 
Bài 5: Số tự nhiên a có 26 chữ số, người ta đổi chỗ các chữ số của A để được 1 số B lớn gấ...ột biểu thức khác chia hết cho m. 
I. Phương pháp giải
- Vận dụng tính chất: từ đó tìm giá trị p và q thích hợp.
II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh với mọi a , b là số tự nhiên.
Lời giải:
Vì nên với mọi a.
Vì nên với mọi b.
Nên: 
Chứng minh tương tự ta có: với mọi a, b.
Mà với mọi a , b là số tự nhiên.
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu thì 	
Lời giải
a, Ta có: 
hay 	
Khi đó vì có 
Bài 3: Chứng minh rằng:
a, CMR:	
b, Cho cmr 	
Lời giải:
a, Ta có: 
b, Ta có : 
Nên 	
Bài 4: Chứng minh ...i
a) Gọi 2 số phải tìm là và , ta có chia hết cho 3
Ta có: 
Vì chia hết cho 3 nên chia hết cho 3.
Do vậy, chia hết cho 9
b) Ta có:
Hay 
Xét hai trường hợp:
 không có giá trị của n thỏa mãn
Câu 8: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9
Lời giải
Gọi 2 số phải tìm là và b, ta có chia hết cho 3.
Ta có: 
Vì chia hết cho nên chia hết cho 3
Do vậy chia hết cho 9
Câu 9: Chứng minh chia hết cho với mọi 
Lời giải
Vì là tí...4
Câu 13: Chứng minh rằng 
Lời giải
Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và 
Suy ra và 
Vậy 
Câu 14: Cho là hai số tự nhiên. Biết rằng chia cho 5 dư 3 và chia cho 5 dư 2. Hỏi tích chia cho 5 dư bao nhiêu ? 
Lời giải
 chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho (1)
 chia cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
 Suy ra chia cho 5 dư 1.
Câu 15