Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 4: Phương pháp quy nạp toán học chứng minh bài toán chia hết

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIACÓ DƯ
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. TÍNH CHẤT CHUNG
1) và thì 
2) với mọi khác 0
3) với mọi khác 0
4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU
- Nếu cùng chia hết cho m thì chia hết cho và chia hết cho 
- Tổng (Hiệu) của 2 số chia hết cho và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho .
- Nếu 1 trong 2 số chia hết cho số kia không ...g hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
- Tích hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.
- Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
- Tổng của hai số tự nhiên bất kỳ là một số lẻ thì có một số tự nhiên là số chẵn.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
1, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết cho một số. 
2, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho một số. 
3, Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng mi...ước 3: Ta chứng minh .
II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng: chia hết cho 3 với mọi .
Giải:
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy chia hết cho 3 với mọi .
Bài 2: Chứng minh rằng: chia hết cho 6 với mọi .
Giải:
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy chia hết cho 6 với mọi .
Bài 3: Chứng minh rằng: chia hết cho 8 với mọi .
Giải:
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy chia hết c...: Chứng minh rằng: chia hết cho 35 với mọi 
Giải:
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy chia hết cho 35 với mọi .
Bài 8: Chứng minh rằng: chia hết cho 9 với mọi .
Giải: 
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy chia hết cho 9 với mọi .
Bài 9: Chứng minh rằng: chia hết cho 9 với mọi .
Giải: 
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy chia hết cho 9 với mọi .
Bài 10: Chứng minh rằng: ...hia hết cho 7 với mọi .
Giải: 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy chia hết cho 7 với mọi .
Bài 14: Chứng minh rằng chia hết cho 133 với mọi .
Giải: 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy chia hết cho 133.
Bài 15: Chứng minh rằng: chia hết cho 32 với mọi .
Giải: 
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy chia hết cho 32 với mọi .
Bài 16: Chứng minh rằng: chia hết cho 169 với mọi .
Giải: 
...ng minh rằng: chia hết cho 64 với mọi .
Giải: Ta sử dụng phương pháp 2
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Xét 
Mà chia hết cho 8 với mọi (bài 17)
Nên: 
Vậy chia hết cho 64 với mọi .
Bài 20: Chứng minh rằng: chia hết cho 64 với mọi 
Giải: Ta sử dụng phương pháp 2
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Xét 
Đặt 
Ta có và 
Nên: 
Vậy chia hết cho 64 với mọi .
Dạng 2: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia ...ết cho 3.
 Bài 2: Chứng minh rằng với thì chia hết cho 6.
Giải:
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy với thì chia hết cho 6.
Bài 3: Chứng minh rằng với ta luôn có chia hết cho 3.
Giải:
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy với ta luôn có chia hết cho 3.
Bài 4: Chứng minh rằng với ta luôn có chia hết cho 6.
Giải:
Đặt 
* Với , ta có 
* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra 
* Với , xét 
Vậy với ta luôn có chia hết ... với có nghĩa là khi ta chứng minh vế trái bằng vế phải.
II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .
Giải:
* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1, vế phải bằng 
Vậy hệ thức đúng với 
* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với 
Tức là: 
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:
Thật vậy, ta có: 
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .
Bài 2: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .
Giải:
* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 2,...ghĩa là phải chứng minh:
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: 
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .
Bài 4: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .
Giải:
* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng 
Vậy hệ thức đúng với 
* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với 
Tức là: 
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:
Thật vậy, ta có: 
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .
Bài 5: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .
Giải:
* Với , ta có vế trái bằng , vế phả... đẳng thức trên đúng với mọi .
Bài 7: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .
Giải:
* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng 
Vậy hệ thức đúng với 
* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với 
Tức là: 
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:
Thật vậy, ta có: 
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .
Bài 8: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .
Giải:
* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng 
Vậy hệ thức đúng với 
* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức