Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chiacó dư - Chủ đề 3: Dùng tính chất chứng minh bài toán chia hết

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIACÓ DƯ
CHỦ ĐỀ 3: DÙNG TÍNH CHẤT CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. TÍNH CHẤT CHUNG
1) và thì 
2) với mọi khác 0
3) với mọi khác 0
4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU
- Nếu cùng chia hết cho m thì chia hết cho và chia hết cho 
- Tổng (Hiệu) của 2 số chia hết cho và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho .
- Nếu 1 trong 2 số chia hết cho số kia không chia hết cho t...iên liên tiếp là một số lẻ.
- Tích hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.
- Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
- Tổng của hai số tự nhiên bất kỳ là một số lẻ thì có một số tự nhiên là số chẵn.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
1, Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số. 
2, Dạng 2: Cho một biểu thức chia hết cho chứng minh một biểu thức khác chia hết cho . 
3, Dạng 3: Tìm để biểu thức chia hết cho biểu thức 
4, Dạng 4: Bài toán chứng minh chia hết liên quan đến số chính phươn... tố cùng nhau và chỉ ra biểu thức chia hết cho các thừa số của từ đó suy ra chia hết cho .
- Viết biểu thức và thành một tích các thừa số và chỉ ra mỗi thừa số của chia hết cho một thừa số của m từ đó suy ra chia hết cho .
- Viết thành một tổng hoặc hiệu các số mà có tổng hoặc hiệu các số dư chia hết cho từ đó suy ra chia hết cho .
 Cụ thể ta có thể vận dụng các PHƯƠNG PHÁP sau: 
+ PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu là một số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết 2; 3; 4; 8; 9; 11; ... để chứng minh.
+ PHƯƠ...
a. b. 
Lời giải
a) 	Cách 1: 
Ta có: và 
Lại có có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9. Vậy A chia hết cho 72
Cách 2: 
 có ba chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8
b) 	Ta có ; ; chia hết cho 9 nên chia hết cho 9
Lại có có tận cùng là 1
 có tận cùng là 7
 có tận cùng là 9
nên có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5.
Mà 
Bài 2: Chứng minh : chia hết cho 17.
Lời giải
Bài 3: Chứng minh rằng: chia hết cho 19
Lời giải
Thêm bớt , ta được: 
Ta có: 
 (mod19)
Vậy 
Ghi chú: Đối vớ...h rằng: chia hết cho 6
Lời giải
Ta có: 
Tổng của hai số hạng : 
Tổng A có 200 số hạng ta chia thành 100 nhóm chứa hai số hạng có tổng 6.
Nên:	
Vậy chia hết cho 6
Bài 6 : Chứng minh rằng: chia hết cho 4 và 5.
Lời giải
Vậy chia hết cho 5 và 4.
Bài 7 : Chứng minh rằng:
a, 	
b, 	
c, 
Lời giải
a, Ta có: 
Nếu là số lẻ thì 
Nếu là số chẵn thì 
Như vậy với mọi là số tự nhiên thì : 
b, Ta có: là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3.
c, T...phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?
Bài 10: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
Lời giải
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là .
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
Do 4 chia hết cho 4 nên chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên không chia hết cho 4 Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Kết luận nâng cao: Vậy không phải lúc nào tổng n số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho n
Bài 11: Chứng minh chia hết cho 4....
 chia hết cho 8.
Bài 13: Chứng minh rằng:
a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
Lời giải
a) 	Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là 
	Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: 
Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2.
 +) Nếu thì n chia hết cho 3 chia hết cho 3.
 +) Nếu thì (k là số tự nhiên).
 chia hết cho 3.
 chia hết cho 3.
 +) Nếu thì (k là số tự nhiên).
 chia hết cho 3.
 chia ...Cách 1: 
* Chứng minh: 
Từ 
Mà nên 
* Chứng minh: 
Từ 
(Vì 4 và 17 nguyên tố cùng nhau)
Cách 2: 
*Chứng minh: 
Vì (1)
Mà (2)
Từ (1), (2) suy ra 
* Chứng minh: 
Vì 
Mà (Vì 4 và 17 nguyên tố cùng nhau) 
b) 	 chọn 
c) 	 	
d) 	
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu thì 
Lời giải
Ta có : 
Bài 3: Chứng minh rằng:
a, Nếu thì 	
b, Nếu thì 
Lời giải
a, Ta có: 
hay 
	Khi đó vì có 
b, Ta có: 
 mà nên 
Bài 4: Chứng minh rằng:
a, Nếu thì	
b, Nếu thì 	
Lời giải
a, Ta có: 
b, Ta có: 	
... có: 
 Ngược lại ta có: 
Bài 11: Cho là các số nguyên. CMR nếu thì và ngược lại.
Lời giải
Ta có: 
Ngược lại ta có: 
Bài 12: Cho là các số nguyên. CMR nếu thì 
 điều ngược lại có đúng không?
Lời giải
Ta có: 
Điều ngược lại vẫn đúng
Bài 13: Cho là các số nguyên và . Chứng minh rằng:
a, 	b, 	c, 
Lời giải
a, Ta có: 
b, Ta có: 
c, Ta có: 
Bài 14: Cho biết . CMR các biểu thức sau cũng chia hết cho 6
a, 	
b, 	
c, 
Lời giải
a, Ta có: 
b, Ta có: 
c, Ta có: 
Dạng 3: Tìm để biểu th...giải
	Ta có 	
	 khi 
	Ư	
Bài 7: Tím tất cả các số nguyên để phân số có giá trị là một số nguyên
Lời giải
	 là số nguyên khi 
	Ta có 	
Vậy khi 	 
 Ư(3) 	
Bài 8: Cho . Tìm nguyên để là một số nguyên.
Lời giải
	 = 
	Với n nguyên, nhận giá trị nguyên hay Ư	 
	Lập luận tìm ra được 
Bài 9: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên
Lời giải
Ta có: = 
	Vì n nguyên nên để nguyên thì nguyên 
 Ư
Vậy với thì có giá trị là một số nguyên
Bài 10: Tìm số tự nhiên để biểu thức s