Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 4: Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất - Chủ đề 3: Các phương pháp tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4- ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯCLN, BCNN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Kiến thức cần nhớ
1. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. 
2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiếu số là số lớn nhất trong các ước chung của các số đó. 
3. Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiếu số lớn hơn , ta thực hiện ba bước sau: 
- Phân tích mổi số ra thừa số nguyên tố. 
- Chọn ra các thừa số nguyên tố chung. 
- Lập tích các thừa s...hung và riêng. 
- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm. 
8. Để tìm bội chung của nhiều số, ta có thể tìm BCNN của các số đó rồi nhân BCNN đó lần lượt với 
2. Các tính chất
1. Khi cần kí hiệu gọn, ta có thể viết ƯCLN là , viết là 
2. Nếu và thì . 
3. Nếu và thì . Đặc biệt, nếu và thì 
4. Nếu ƯCLN thì với . 
5. Nếu thì với . 
6. ƯCLN . 
7. Người ta chứng minh được rằng: 
Cho hai số tự nhiên và trong dó . 
+ Nếu a chia hết cho...háp phân tích ra các thừa số nguyên tố
I. Phương pháp giải
Muốn tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số ta làm như sau
Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố với số mũ tương ứng
Bước 2: Tìm các thừa số chung và riêng
Bước 3: ƯCLN là tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất
BCNN là tích của các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên lớn nhất sao cho khi chia cho , ta được ba số dư bằng nhau. 
Lời giải: 
 chia cho có cùng số ...ủa chúng có thể nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Lời giải: 
Gọi năm số tự nhiên đã cho là , ước chung lớn nhất của chúng là . 
Ta có: 
nên 
do đó 
Suy ra là ước của . 
Ta lại có nên , suy ra . 
Phân tích ra thừa số nguyên tố: . 
Ước lớn nhất của không vượt quá là . 
Giá trị lớn nhất của là , xảy ra khi chẳng hạn và hoặc các hoán vị của chúng. 
Bài 4: Có ba đèn tín hiệu, chúng phát sáng cùng một lúc vào giờ sáng. Đèn thứ nhất cứ phút phát sáng một lần, đèn thứ hai cứ phút phát sán...t cho tất cả các số 
Lời giải: 
Điều kiện để chia hết cho tất cả các số là chia hết cho 
Ta thấy chia được , dư nên chia hết cho , chia hết cho . 
Đáp số: và . 
Bài 6: Tìm các số tự nhiên và biết ƯCLN 
Lời giải: 
Ta có ƯCLN 
ƯCLN nên trong đó 
Suy ra 
Từ và suy ra hay . 
Ta có nên . Các số nguyên tố cùng nhau và có tích bằng nên 
 
 
 
 
 
 
Suy ra 
 
 
 
 
 
 
Bài 7: Cho Tìm Từ đó kiểm tra công thức
ƯCLN ƯCLN(ƯCLN 
Lời giải: 
Ta có: 
ƯCLN ƯCLN ƯCLN(ƯCLN ƯCLN 
Bài 8: Tìm ƯCLN, ...ên, là số lớn nhất có thể chia được bởi hai số nguyên đó với số dư bằng không. Giải thuật này được đặt tên theo nhà toán học người Hy Lạp cổ đại Euclid, người đã viết nó trong bộ Cơ sở của ông (khoảng năm 300 TCN). Nó là một ví dụ về thuật toán, một chuỗi các bước tính toán theo điều kiện nhất định và là một trong số những thuật toán lâu đời nhất được sử dụng rộng rãi. 
Giải thuật Euclid dựa trên nguyên tắc là ước chung lớn nhất của hai số nguyên không thay đổi khi thay số lớn hơn bằng hiệu của... để tìm ƯCLN nếu một trong hai số lớn hơn rất nhiều so với số còn lại. Một dạng khác của giải thuật rút ngắn lại các bước này, thay vào đó thế số lớn hơn bằng số dư của nó khi chia cho số nhỏ hơn (dừng lại khi số dư bằng không). Dạng thuật toán này chỉ tốn số bước nhiều nhất là năm lần số chữ số của số nhỏ hơn trên hệ thập phân. Gabriel Lamé chứng minh được điều này vào năm 1844, đánh dấu sự ra đời của lý thuyết độ phức tạp tính toán. Nhiều phương pháp khác để tăng hiệu quả của thuật toán cũng đ...uốc, để xây dựng liên phân số hay tìm xấp xỉ gần đúng nhất cho số thực. Cuối cùng, nó là công cụ cơ bản để chứng minh nhiều định lý trong lý thuyết số như định lý bốn số chính phương của Lagrange và tính duy nhất của phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố. Thuật toán Euclid ban đầu chỉ được giới hạn về số tự nhiên và độ dài hình học (số thực), nhưng đến thế kỷ 19 đã được mở rộng cho nhiều dạng số khác như số nguyên Gauss và đa thức một biến, dẫn đến các khái niệm về đại số trừu tượng như miền ...ào. 
Gọi ƯCLN . Vì và đều là bội của nên chúng có thể được viết thành và , và không tồn tại số nào để các biểu thức trên đúng. Hai số tự nhiên và phải nguyên tố cùng nhau vì có thể phân tích bất kỳ thừa số chung nào từ và để lớn hơn. Do đó, một số bất kỳ được chia bởi và cũng được chia bởi . Ước chung lớn nhất của và là ước chung (dương) duy nhất của chúng có thể chia được bởi một ước chung bất kỳ. 
ƯCLN có thể được minh họa như sau: Xét một hình chữ nhật có kích thước là và một ước chung bất .... 
Ước chung lớn nhất của hai số và là tích của các thừa số nguyên tố chung của hai số đã cho, trong đó một thừa số có thể được nhân lên nhiều lần, chỉ khi tích của các thừa số đó chia được cả và . Chẳng hạn, ta phân tích được và nên ước chung lớn nhất và bằng (là tích của các thừa số nguyên tố chung). Nếu hai số không có một thừa số nguyên tố chung nào thì ước chung lớn nhất của chúng bằng (một trường hợp của tích rỗng), hay nói cách khác chúng nguyên tố cùng nhau. Một ưu điểm quan trọng của g