Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 3: Các bài toán về hợp số

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
CHỦ ĐỀ 3:CÁC BÀI TOÁN VỀ HỢP SỐ
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.SỐ NGUYÊN TỐ
-Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
-Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.
-Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn.
-Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương.
-Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên...ên a () là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.
-Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó.
-Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh.
-Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số) 
3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
-Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất bằng 1.
a,b nguyên tố ... số lẻ lớn hơn là tổng của 3 số nguyên tố.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Phương pháp kiểm tra một số là hợp số
I.Phương pháp giải 
Cách 1. Sử dụng định nghĩa.
-Hợp số là số tự nhiên lớn lơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.
-Để chứng tỏ một số tự nhiên a () là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.
Cách 2. Với ta kiểm tra theo các bước sau 
- Tìm số nguyên tố k sao cho: 
- Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không ?
+) Nếu có chia hết thì n là số ... Ta có: có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Vậy tổng trên là hợp số
Bài 3: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số
a) 
b) 
c)
Lời giải
a) Ta có: là hợp số
b) Ta có: là số lẻ, là số lẻ, nên là số chẵn 
nên là hợp số
c) Ta có: có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5 nên tổng trên là hợp số
Bài 4: Các số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số. 
Lời giải
Ta có có nhiều hơn hai ước số.
 có nhiều hơn hai ước số.
 có nhiều hơn hai ước số.
Vậy các số tự nhiên là hợp số. 
Bài 5:...ất đặc trưng của hợp số để giải các bài toán về chứng minh hợp số.
II.Bài toán
Bài 7: 
a) Cho là số nguyên tố. Hỏi là số nguyên tố hay hợp số.
b) Cho và là các số nguyên tố . Chứng minh là hợp số.
Lời giải:
a. Nếu là số nguyên tố
- Nếu 
Vì là số nguyên tố nên  là số lẻ
 là số lẻ
 là số chẵn lớn hơn 2 
 là hợp số
Vậy là hợp số.
b. là dãy số cách đều 4 đơn vị có 1 số chia hết cho 3
Vì và là số nguyên tố nên không chia hết cho 3
 và là hợp số.
Bài 8: Cho và là hai số nguyên tố lớn h...và là các số nguyên tố . Chứng minh là hợp số.
Lời giải:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên chia 3 dư 1 hoặc dư 2 có dạng
+) Nếu thì và nên là hợp số ( mâu thuẫn với giả thiết là các số nguyên tố)
Vậy Khi đó vànên là hợp số.
Vậy nếu và là các số nguyên tố thì là hợp số.(đpcm)
Bài 11: 
a) Cho và là số nguyên tố . Chứng minh là hợp số và 
b) Cho và là các số nguyên tố . Chứng minh là hợp số.
Lời giải:
a) Với , ta có là 3 số tự nhiên liên tiếp 
Do đó trong 3 số trên có 1 số chia hết cho ...hiết là số nguyên tố)
Vậy Khi đó vànên là hợp số.
Vậy nếu và là các số nguyên tố thì là hợp số.(đpcm)
Bài 13: Cho p và là các số nguyên tố .Chứng minh rằng là hợp số.
Lời giải:
Vì là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3
Khi đó ta có : là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
Mà . Vậy hay là hợp số 
Bài 14: Cho và là các số nguyên tố. Tìm số nguyên tố để là hợp số.
Lời giải:
Với là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3
Khi đó ta có : là 3 số ngu... số dư, biết rằng có thể là hợp số hay là số nguyên tố không?
Lời giải:
Giả sử p là số nguyên tố: 
 hoặc là số nguyên tố hoặc là hợp số và không chia hết cho 2, 3, 5
 hoặc là số nguyên tố khác 2, 3, 5 hoặc r = 49 
Bài 19: Cho và là các số nguyên tố ().Chứng minh rằng tổng của hai số nguyên tố đó chia hết cho .
Lời giải:
Đặt 
Và 
Xét 3 số liên tiếp phải có 1 số chia hết cho 3
Vì là số nguyên tố lớn hơn 3, nên không chia hết cho 3, 
Mặt khác vì nếu chia hết cho 3 thì sẽ chia hết cho 3, ... 2
Còn lại 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ => tổng của 24 số lẻ cho ta 1 số chẵn
Vậy xét tổng của 25 số nguyên tố đó cho ta được 1 số chẵn nên tổng 25 số nguyên tố đó có là hợp số .
Bài 17:
Chứng minh rẳng với mọi số nguyên thì là hợp số.
Lời giải
Ta có 
Mà 
Do đó 
Vậy với mọi số nguyên thì là hợp số.
Bài 18: Cho . Có phải 1986 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số không?
Lời giải
Do a là tích các số từ 2 đến 1987 có ngĩa là tích của a có 1996 số.
và nên là hợp số.
và nên là ... có dạng 
Với giả sử là số nguyên tố, nên 
Với giả sử là số nguyên tố, khi đó: 
Như vậy 
Bài 21: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì và không thể là các số chính phương
Lời giải
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên và p không thể chia hết cho 4 	(1)
- Giả sử p + 1 là số chính phương, đặt 
Vì p chẵn nên lẻ lẻ => m lẻ
Đặt , ta có: 
Mâu thuẫn với (1)
=> p + 1 không thể là số chính phương
- Giả sử là 3 có dạng 3k+2 không là số chính phương
Vậy nếu