Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 1: Định nghĩa và tính chất cơ bản của số chính phương

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 6 – SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA:
Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên.
Ví dụ : và là hai số chính phương vì 
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG:
Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là , không thể có chữ số tận cùng là 
 Để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương ch...a số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ lẻ. 
Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng hoặc (, ), không có SCP nào có dạng .
Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng hoặc (, ) không có SCP nào có dang hoặc 
Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là số chính phương.
Nếu số một số chính phương, chia hết cho và là một số nguyên tố thì chia hết cho .
Nếu chia hết cho và là một số nguyên tố thì chia hết cho .
Hai số ch... có phải số chính phương hay không?
	a) 	
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
	f) 
	g) 
	h) 
Lời giải
Ta có: với mọi nên 
Suy ra chia cho dư .
Vì chia hết cho nhưng không chia hết cho nên không phải là số chính phương.
Ta có: 
 có chữ số tận cùng là 3 nên không phải là số chính phương.
Ta có có chữ số tận cùng là nên không phải là số chính phương.
Ta có có chữ số tận cùng là nên không phải là số chính phương.
Ta có có cặp chữ số tận cùng là chia hết cho nhưng không chia hết cho nên không phải l...hính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.
c) Một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc hoặc .
d) Một số chính phương lẻ khi chia cho chỉ có số dư là .
Lời giải:
a) Ta xét các trường hợp của khi chia cho :
+ Nếu 
+ Nếu chia dư 
+ Nếu chia dư 
Vậy một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc .
b) Ta xét các trường hợp của khi chia cho :
+ Nếu chia dư 
+ Nếu chia dư 
Vậy một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc hoặc ...y trừ ta được: 
Ta có không là số chính phương do không là số chính phương.
Vậy không là số chính phương.
Lưu ý: , cũng có thể kết luận ngay chúng không là số chính phương ( Chứ thừa số nguyên tố với số mũ lẻ )
Bài 5: Cho hai số chính phương có tổng là một số chia hết cho . Chứng minh rằng cả hai số chính phương đó đều chia hết cho .
Lời giải
Gọi hai số chính phương là: . Theo đầu bài ta có: 
Ta xét các trường hợp:
+ Giả sử chia dư (theo tính chất )
 mâu thuẫn giả thiết 
+ Giả sử hoặc ... Với 
+) Với 
Vậy các số nguyên tố thỏa yêu cầu đề bài là: 
Bài 8: Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
Lời giải
Gọi số chính phương cần tìm là : 
Ta có : 
Lại có : 
 mà 
Mà : 
Thay vào , ta được : 
phải là số chính phương (do là số chính phương)
Ta có bảng sau: 
Ta có : 
Vậy số cần tìm là : .
Cách 2: 
Gọi số chính phương cần tìm là : 
Ta có: =
Do đó: 
Ta có: 
Ta có bảng: 
Mà 
chọn 
Bài 9: Tìm số tự nhiên để là...hải tìm là 
Ta có: hay 
Vì số chính phương chỉ có các thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên 
+) Với (không thỏa mãn)
+) Với 
+) Với 
+) Với 
+) Với (loại vì n có nhiều hơn hai chữ số)
Vậy số cần tìm là 
Bài 12: Chứng minh rằng: một số tự nhiên viết toàn bằng chữ số thì không phải số chính phương.
Lời giải
Gọi là số tự nhiên được ghi bởi chữ số ()
Ta có: 
 là số tự nhiên chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4
 không là số chính phương.
Bài 13: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng...TRONG ĐỀ THI
Bài 1: Chứng minh rằng không phải là số chính phương với mọi số nguyên dương . 
(Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 – 2016)
Lời giải
Ta có
 chia cho dư 
chia cho dư 
Do đó chia cho dư 
Ta có nhưng không chia hết cho , mà là số nguyên tố nên không là số chính phương.
Vậy không là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng không phải là số chính phương.
(Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi 2017 - 2018)
Lời giải
Ta có 
Ta thấy
Nên chia dư , mà không có số...018-2019)
Lời giải
Ta có
Ta có: 
Suy ra 
Vậy không là số chính phương.
Bài 5: Chứng tỏ tổng sau không là số chính phương không là số chính phương.
 (Trích đề thi Olympic lớp 6 THCS Cầu Giấy năm học 2011-2012)	
Lời giải
Ta có: 
Để là số chính phương thì 
Điều này vô lí vì 
Vậy không là số chính phương.
Bài 6: Cho 
a) Chứng minh chia hết cho 6. 
b) Chứng minh không là số chính phương. 
 (Trích đề thi HSG lớp 6 Đa Phúc 2010-2011)
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có:
Mặt khác: 
không c...ố dư là dư của phép chia 
Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố nguyên cùng nhau, , nên 
b) Ta có có chữ số tận cùng là 0 nên: 
 có chữ số tận cùng là 
Vậy không là số chính phương vì số chính phương có tận cùng là 
Bài 9: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số: 
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2011-2012)
Lời giải
Gọi số chính phương phải tìm là 
- Vì số chính phương không có chữ số tận cùng là 3; 8 do đó phải có tậ