Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 3: Phương pháp phản chứng giải bài toán số chính phương

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6 - SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA
Số chính phương là số tự nhiên viết được dưới dạng bình phương đúng của một số nguyên.
Ví dụ: ; .
2. SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHẴN, SỐ CHÍNH PHƯƠNG LẺ
Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn...ố đó khi phân tích ra TSNT thì tồn tại thừa số nguyên tố chứa số mũ lẻ.
Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng hoặc , không có SCP nào có dạng .
Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng hoặc , không có SCP nào có dạng hoặc .
Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là số chính phương.
Nếu số chính phương chia hết cho thì chia hết cho .
Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn (12..., .
3. HỆ QUẢ
Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho ( là số nguyên tố, ).
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Chứng minh một biểu thức không là số chính phương.
I. Phương pháp giải:
Đề bài chứng minh một biểu thức không là số chính phương.
Giả sử biểu thức là số chính phương.
Sử...chính phương. 
Lời giải:
Giả sử là số chính phương.
Khi đó đặt .
 .
 .
Như vậy, trong hai số và phải có ít nhất một số chẵn .
Mặt khác chẵn.
Suy ra hai số và cùng tính chẵn lẻ .
Từ và suy ra và là hai số chẵn.
 mà , so sánh điều này với , ta thấy đây là điều vô lý.
Vậy với mọi số nguyên dương thì không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. 
Lời giải:
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp lần lượt là ,...ải: 
Đặt .
Khi lẻ: Đặt .
.
Có 49 chia 4 dư 1 chia 4 dư 1; chia 4 dư 3 chia 4 dư 3 (vô lý).
Vậy với lẻ và thì không là số chính phương.
Bài 6: Chứng minh rằng nếu số tự nhiên là số nguyên tố thì không là số chính phương. 
Lời giải: 
Giả sử là số chính phương .
Xét .
Tồn tại một trong hai thừa số , chia hết cho số nguyên tố.
Điều này không xảy ra vì cả hai thừa số trên đều nhỏ hơn .
Thật vậy, do (vì ).
Nên .
Vậy nếu số tự nhiên là số nguyên tố thì không là số ch... (vô lí).
Vậy với mọi số tự nhiên thì không là số chính phương.
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì không là số chính phương. 
Lời giải:
Với n = 0 thì không là số chính phương.
Giả sử với mọi số tự nhiên , là số chính phương. 
 .
.
Mà chia 3 dư 2
Nên mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy ra.
Vậy với mọi số tự nhiên thì không là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì không là số chính phương. 
Lời giải:
Nếu thì không là số ch...số chính phương.
Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì không là số chính phương. 
Lời giải:
Giả sử là số chính phương.
Khi đó: .
Mà .
 (vô lí).
Vậy với mọi số tự nhiên thì không là số chính phương.
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lẻ thì không là số chính phương. 
Lời giải:
Giả sử là số chính phương.
Khi đó: .
 .
Vì là số tự nhiên lẻ nên cũng là số lẻ là hai số tự nhiên lẻ liên tiếp và chúng nguyên tố cùng nhau nên
với a, b lẻ và a>b.
 (*)....ố chính phương, tức là là số chính phương.
Đặt .
Ta có: .
Do đó, vì là số chẵn và là số chính phương nên . 
Mà .
Nên không xảy ra hay vô lý.
Vậy tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Bài 16: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. 
Lời giải: 
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là .
Giả sử tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp trên là số chính phương, tức là là s...ột ước nguyên dương của thì không phải là số chính phương.
Bài 18: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì không phải là số chính phương. 
Lời giải: 
Gọi , là các số tự nhiên lẻ.
Giả sử tổng bình phương của hai số và là số chính phương, tức là số chính phương .
Vì và đều lẻ nên đặt , .
Từ và 
Mà 
và mâu thuẫn với nhau.
Vậy tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì không phải là số chính phương.
Bài 19: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thi...
Vậy không là số chính phương.
Bài 21: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì không phải là số chính phương. 
Lời giải: 
Giả sử là số chính phương.
Ta có: 
Vì là số chẵn nên là số chẵn. Mà là số chính phương nên .
Mặt khác : .
Nên là điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy ra hay vô lý.
Vậy không là số chính phương.
Bài 22: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì không phải là số chính phương. 
Lời giải: 
Giả sử là số chính phương.
Ta có:
 chia 4 dư 1.
 chia