Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 1: Hệ thống kiến thức cơ bản

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 9 – PHÂN SỐ
CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Số có dạng , trong đó gọi là phân số. 
Số nguyên được đồng nhất với phân số . 
Tính chất cơ bản của phân số: với và ƯC.
Nếu thì là phân số tối giản. Nếu là dạng tối giản của phân số thì tồn tại số nguyên sao cho . 
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Áp dụng các tính chất chia hết để giải các bài toán về phân số
I.Phương pháp giải
Bài toán tổng quát: Tìm số tự nhiên sao cho có giá trị nguyên.
Cách làm:
Ư.... số chia hết cho các ước nguyên tố.
II.Bài toán
Bài 1: Cho 
a) Tìm nguyên để là một phân số
b) Tìm nguyên để là một số nguyên.
Lời giải:
Điều kiện: 
Để là phân số thì 
Để phân số có giá trị là một số nguyên thì 
Mà nên Ư.
Ư
Ta có bảng sau:















Vậy . 
Bài 2: Tìm số tự nhiên để phân số có giá trị là một số nguyên.
Lời giải:
Điều kiện: 
Để phân số có giá trị là một số nguyên thì 
. 
 Ư.
Ư.
Mặt khác, là số tự nhiên nên . 
Ta có bảng sau:
( loại )

( loại)



( loại...phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên . 
Bài 4: Tìm số tự nhiên để phân số rút gọn được.
Lời giải:
Điều kiện: 
Gọi là ước nguyên tố của và . 
 .
Nếu ta thấy còn khi lẻ.
Nếu thì hay . 
Với thì . 
Vậy lẻ hoặc thì phân số rút gọn được.
Bài 5: Tìm các số tự nhiên nhỏ nhất sao cho: .
Lời giải:
Điều kiện: ,
Ta có:
.
Suy ra mà mặt khác nhỏ nhất nên . 
Bài 6: Tìm số tự nhiên để phân số có giá trị nguyên.
Lời giải:
Điều kiện: 
Cách 1: 
Để phân số có giá trị nguyên thì 
Suy ... số nguyên thì 
. 
 Ư.
Ư.
Ta có bảng sau:
(loại vì ) 
 
 

(loại vì ) 
 

(loại vì ) 
 
(loại vì ) 
 


(loại)

0
Vậy thì có giá trị nguyên.
Điều kiện: 
Để phân số là số tự nhiên thì 
 hay . 
Mà nên Ư.
Ư.
Ta có bảng sau:
(loại vì ) 
 
 
(loại vì ) 


(loại) 
 
0
Vậy thì là số tự nhiên.
Bài 8: Tìm số tự nhiên để phân số .
	a) Có giá trị là số tự nhiên.
	b) Là phân số tối giản.
	c) Phân số rút gọn được với .
Lời giải:
Điều kiện: 
Để phân số là số tự nhiên thì 
 hay 
Mà Ư...thì:
với và là số nguyên tố.
Với mà nên để phân số có thể rút gọn được thì 
Mà (vì và ) 
Với thì nên để phân số rút gọn được thì
Vậy với thì phân số rút gọn được.
Bài 10: Tìm số nguyên để phân số có giá trị là một số nguyên.
Lời giải
Điều kiện: 
Để phân số là số nguyên thì 
 hay 
Mà Ư
Ư.
Ta có bảng sau:
 


 
 

 
 
 
 




 
Vậy thì là số nguyên.
Bài 11: Cho biểu thức : Tìm giá trị của để:
a) là một phân số.
b) là một số nguyên.
Lời giải:
Ta có: 
Để là phân số thì 
Để là số...y ra 
Vậy 
Bài 14: Tìm các số nguyên sao cho 
Lời giải: Ta có:
Do đó: 
Do là các số nguyên nên là ước của 18, mặt khác là số lẻ. Ước lẻ của 18 là: Ta có: 
Vậy có sáu cặp số ở bảng trên thỏa mãn bài toán.
Bài 15: Tìm các số tự nhiên sao cho: 
Lời giải: 
Ta luôn có: 
 (xảy ra dấu bằng với )
 (xảy ra dấu bằng với )
Do đó: 
Xảy ra chỉ trong trường hợp 
Dạng 2: Tìm phân số biết mối liên hệ giữa tử và mẫu
Một số điều kiện cho trước thường gặp:
	 Biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần t...) còn thiếu.
Ở dạng toán viết phân số dưới dạng tổng các phân số đã biết cùng số tử (hoặc cùng số mẫu) ta phải tìm được bộ số thuộc các ước của mẫu sao cho tổng của chúng bằng tử. Khi đó ta tìm được bộ phân số có tổng bằng phân số ban đầu, các phân số này có tử số là ước của mẫu nên khi viết dưới dạng tối giản đều có tử số bằng 1. 
Từ các dữ kiện bài toán ta vận dụng linh hoạt các tính chất của phân số tối giản với tính chia hết để giải toán.
Dạng toán: Tìm phân số bằng phân số , biết ƯCLN củ...mẫu phân số cần tìm là 
Ta có: . 
Vậy phân số cần tìm là .
Bình luận: Bài toán thuộc dạng biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn hơn phân số này và nhỏ hơn phân số kia.
Bài 2: Tìm phân số có mẫu là , biết rằng phân số đó lớn hơn và nhỏ hơn .
Lời giải:
Gọi tử phân số cần tìm là 
Ta có: . 
Vậy các phân số cần tìm là: 
Bài 3: Hãy viết phân số dưới dạng tổng của 3 phân số có tử số đều bằng và có mẫu số khác nhau.
Phân tích: Nhận thấy nếu mẫu số bằng , Ư ta không tìm được bộ ba số nà...hân tích: 
Do tính chất chia hết ta có: chia hết cho nên là số nguyên, vậy chia hết cho , chia hết cho . Tương tự, chia hết cho nên là số nguyên, vậy chia hết cho , chia hết cho . Do tính chất của phân số tối giản và lớn hơn nên ta có và ƯCLN
Lời giải:
Vì tối giản nên ƯCLN và là các số nguyên nên chia hết cho và còn và chia hết cho .
Do đó và ƯC
Vì là phân số tối giản nhỏ nhất lớn hơn nên và ƯCLN nên Do đó phân số cần tìm là .
Bài 6: Tìm phân số tối giản nhỏ nhất (với ) biết khi chia cho v...n số cần tìm là .
Bài 8: Tìm phân số bằng phân số , biết ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số đó là 
Lời giải:
Ta thấy ƯCLN Suy ra và là phân số tối giản.
Mà ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số cần tìm là 
Nên phân số cần tìm đã được rút gọn thành bằng cách chia cả tử và mẫu cho Vậy phân số cần tìm là 
Bài 9: Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp lần phân số ban đầu ? 
Lời giải:
Gọi phân số tối