Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 2: Phân số tối giản

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 9-PHÂN SỐ
CHỦ ĐỀ 2:PHÂN SỐ TỐI GIẢN
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
-Phân số tối giản hay còn gọi là phân số không thể rút gọn được nữa là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1.
-Giả sử ta có phân số . Phân số được gọi là phân số tối giản khi và chỉ khi . 
- Nếu phân số là phân số tối giản thì phân số cũng là phân số tối giản.
- Tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản.
-Tính chất:
+ 
+ 
-Thuật toán Ơclit tìm ƯCLN(a;b):
Ta tìm UCL...i giản là một phân số tối giản.
II.Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì các phân số sau là phân số tối giản.
a. b. c. 
Lời giải 
a. 
Vì nên là phân số tối giản.
b. 
*Cách 1: Theo thuật toán Euclide: 
do đó là phân số tối giản.
*Cách 2: Giả sử 
Vậy là phân số tối giản.	
*Cách 3: Ta có: mà là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản.
Bài 2: Chứng minh rằng với n Z các phân số sau tối giản.
a. b. c. d. 
e. f. g. h. 
Lời giải 
a. 
Giả sử 
Vậy ph...Euclide: . 
Do đó: phân số là phân số tối giản.
b. 
Vì phân số là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản.
c. 
Ta có: Theo thuật toán Euclide: . 
Do đó: phân số là phân số tối giản.
Vì phân số là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản.
d. 
Ta có: Theo thuật toán Euclide: . 
Do đó: phân số là phân số tối giản.
Vì phân số là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản.
e. 
Ta có: Theo thuật toán Euclide: . 
Do đó: phân số là phân số tối giản.
Bài 4: Cho a là ...n số là phân số tối giản. 
Dạng 2:Tìm tham số để phân số tối giản.
I.Phương pháp giải
- Bước 1: Giả sử d là ước chung của tử và mẫuTử và mẫu cùng chia hết cho d.
-Bước 2: Vận dụng các tính chất quan hệ chia hết để tìm các giá trị của d.
- Bước 3: Xác định giá trị khác -1 và 1 của d tử hoặc mẫu không chia hết cho các giá trị đótừ đó tìm các điều kiện của ẩn.
Hoặc biến đổi phân số thành tổng hoặc hiệu của số nguyên với phân số tối giản. 
II.Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để các phân số ...n số tối giản.
a. b. c. 
Lời giải 
a. 
Ta có: ( với ) 
Để là phân số tối giản thì là phân số tối giản.
Mà là phân số tối giản ta phải có 
Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu thì hay do đó nên khi 
Vậy: phân số là phân số tối giản khi 
b. 
Ta có: ( với ) 
Để là phân số tối giản thì là phân số tối giản.
Mà là phân số tối giản ta phải có 
Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu thì hay do đó nên khi 
Vậy: phân số là phân số tối giản khi 
c. 
Ta có: ( với ) 
Để là phân số tối giản thì là phân số ...phân số là phân số tối giản.
b. 
Giả sử d là ước chung nguyên tố của và 
+ (vô lí)
+
Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.
c. 
Giả sử d là ước chung nguyên tố của và 
+
+
Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.
Bài 5: Tìm tất cả số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản.
a. b. 
Lời giải 
a.
Giả sử 
Để phân số là phân số tối giản thì 
Hay không chia hết cho 11.
Ta có: 
Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.
b. 
Giả sử 
Để phân số là phân số tối giản thì 
... chưa tối giản.
Lời giải 
Để không là phân số tối giản ta phải có 
Vì là số nguyên tố do đó nếu thì 
hay , do đó 
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên để không là phân số tối giản.
Lời giải 
Ta có nên không phải là phân số tối giản khi chia hết cho hoặc .
 Vì không chia hết cho 3 nên phải chia hết cho 7 .
hay (vì )
do đó 
Vậyđể không là phân số tối giản.
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên đểphân số không là phân số tối giản.
Lời giải 
Gọi là ước nguyên tố chung (nếu có) của và 
 hay 
V...của và 
Suy ra 
Vậy phân số hoặc tối giản hoặc chỉ rút gọn được cho .
Dạng 4:Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước
I.Phương pháp giải
- Dùng phương pháp phản chứng.
- Dùng định nghĩa phân số tối giản.
II.Bài toán
Bài 1: Cho phân số tối giản.Chứng minh rằng phân số tối giản.
Lời giải 
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
 Giả sử không tối giản tức là tử và mẫu có một ước chung .
suy ra 
như vậy và có một ước chung .
Điều này trái với đề bài đã có tối giản 
Vậy là p...ời giải 
Xét phân số , có 
Nên phân số tối giản khi 
Xét phân số , có 
Nên phân số tối giản khi 
Vậy các phân số cùng tối giản khi 
Mặt khác, là số tự nhiên nhỏ nhất khác nên ta chọn .
Vậy thì các phân số đều tối giản.
Bài 5: Tìm các số nguyên sao cho các phân số đều là phân số tối giản.
Lời giải 
Ta có nên để các phân số đều là phân số tối giản thì 
Vì nên ta chọn .
Vậy thì các phân số đều là phân số tối giản.
Bài 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để các phân số đều tối giản.
Lời giải 
...
.........................
Các phân số trên có dạng 
Để các phân số trên tối giản thì và là hai số nguyên tố cùng nhau( vì nếu chúng không là hai số nguyên tố cùng nhau thì chúng cùng chia hết cho số suy ra phân số rút gọn được cho )
Ta cần tìm số tự nhiên sao cho nhỏ nhất và nguyên tố cùng nhau với các số 
Như vậy phải là số nguyên tố nhỏ nhất mà lớn hơn đó là số 
Vậy với thì các phân số đều tối giản.
Bài 8: Tìm để phân số tối giản.
Lời giải 
Ta có phân số tối giản nên 
Mà nên 
Do đó