Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 7: Bất đẳng thức liên quan đến phân số

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 9 – PHÂN SỐ 
CHỦ ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
I. Khái niệm bất đẳng thức
1. Định nghĩa : Số gọi là lớn hơn số , ký hiệu nếu là một số dương, tức là . Khi đó ta cũng ký hiệu 
Ta có: 
Nếu hoặc , ta viết . Ta có:
2. Quy ước : 
Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 
II. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 
1... lại 
I. Bài toán
Bài 1: Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:
Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn.
Bài 2: Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh:
 và chứng minh 
Ta có: 
 đến đây, ta sẽ so sánh với như sau:
Ta có: bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số với 96 để được hai phân số cùng tử...hính xác được tổng sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể tính được.
Ta tính tổng như sau: 
Sau đó lấy trừ theo vế và nhóm các phân số có cùng mẫu ta được: 
, đặt và tính tổng theo cách như trên ta được: , thay vào A ta được: 
Bài 6: Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
Tính tượng tự như bài , ta có: , 
Đặt , và tính rồi thay vào tổng ta được
Bài 7: Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
	Ta có: 
Bài 8: Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
	Ta có: 
Bài 9: So sánh với 
Lời giải:
Bài 10: Chứng...i:
Hay 
Bài 18: Chứng tỏ rằng: có giá trị không nguyên
Lời giải:
Ta có: 
Ta có 
Đặt 
Từ và 
Vậy không có giá trị nguyên
Bài 19: Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
Bài 20: Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
Bài 21: Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
,
 Đặt ta có:
Bài 22: Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
Đặt 
Ta có: 	
Bài 23: Chứng tỏ rằng: thì 
Lời giải:
Ta có: 
Mặt khác: 
Vậy 
Bài 24: Cho , chứng tỏ rằng: 
Lời giải:
Ta có 
TH1: 	
TH2: 
Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN
I. Phương pháp giải.
Với tổng phân ...i:
	Ta có: 
và 
Vậy 
Bài 7: Cho . Chứng tỏ rằng: . 
Lời giải:
	. 
Suy ra .
	. 
Suy ra .
Vậy .
Bài 8: Cho . Chứng tỏ rằng: .
Lời giải:
	Tổng trên có 30 số hạng:
	Ta có: 
Suy ra .
	Ngược lại: .
Suy ra .
Bài 9: Chứng tỏ rằng: thì 
Lời giải:
Ta thấy tổng có số, như vậy ta sẽ nhóm thành ngoặc, mỗi ngoặc sẽ có hai phân số, gồm một phân số đứng đầu và một phân số đứng cuối, cứ như vậy dồn sâu vào trong tổng.
	 ( ngoặc)
, lúc này ta sẽ so sánh tất cả với chung một phân số đầu hoặc ...ánh lớn hơn lượng dư thừa, dẫn đến tổng lớn hơn , do đó để giảm bớt lượng dư, tùy vào bài toán, chúng ta nên nhóm thành 6 ngoặc.
=
Bài 12: Cho . Chứng tỏ rằng: 
Lời giải:
	Nhóm tổng thành ba ngoặc làm tương tự bài 11 ta có
	Mặt khác: 
Suy ra .
Bài 13: Cho . Chứng tỏ rằng: 
Lời giải:
	Tách tổng thành:
	Và: 
Bài 14: Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
	Thấy rằng tổng có số hạng, số hạng ở giữa là 
TH1:
TH2:=
Bài 15: Cho . Chứng tỏ rằng: 
Lời giải:
	Tổng có số hạng 
	Ta có: ( ngoặc)
	(1)
...: và 
Lời giải:
Nhận thấy tổng giống với bài , muốn chứng minh lớn hơn ta để phân số dạng ở cuối ngoặc:
Mặt khác muốn chứng minh , ta nhóm sao cho phân số có dạng nằm ở đầu ngoặc:
Vậy 
Lời giải:
 Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
Bài 21: Cho . So sánh A với 2007
Lời giải:
	Ta có: 
 	Xét 
Khi đó: 
Bài 22: Chứng tỏ rằng luôn tồn tại số tự nhiên để: 
Lời giải:
	Chọn Khi đó: 
Bài 23: Cho . So sánh với .
Lời giải:
Bài 24: Chứng tỏ rằng:.
Lời giải:
	.
Ta có số hạng do đó:
	. 
Vậy .
Bài ...dạng , 
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng 
Lời giải:
	A có dạng khi đó ta có:
	 khi đó: 
Mặt khác:
Bài 4: Chứng minh rằng 
Lời giải:
Suy ra 
Vậy .
Bài 5: Chứng tỏ rằng:. Chứng minh rằng 
Lời giải:
	Ta có: 
. 
Vậy .
Bài 6: Cho . Chứng tỏ rằng:.
Lời giải:
	Ta có: 
	Mặt khác: 
. 
Vậy .
Bài 7: Cho . So sánh với 
Lời giải:
	Ta thấy tích gồm số âm:
.
. 
Mà: 
Vậy .
Dạng 4: BẤT ĐẲNG THỨC CHỮ
I. Phương pháp giải
Với chương trình lớp 6 các dạng bài toán chứng minh bất đẳng thức ch.... 
Chứng tỏ rằng:
Lời giải:
	Chúng ta có thể làm theo cách ở trên, hoặc làm theo cách thứ hai như sau:	
Giả sử: 
Khi đó:
Cộng theo vế ta được: 
Bài 4: Cho và , chứng tỏ rằng:
Lời giải:
	Ta có:
Cộng theo vế ta được: .
Bài 5: Cho các số nguyên dương, chứng tỏ rằng: 
Lời giải:
	Ngoài hai cách như trên, ta cũng có thể hướng dẫn học sinh làm theo cách như sau:
Ta có: , tương tự ta cũng có: 
Mà Nên 
Bài 6: Cho các số nguyên dương, chứng tỏ rằng: .
Lời giải:
Ta có: , tương tự ta cũng ...g tỏ rằng: > 48
Lời giải:
Bài 6: Cho , chứng tỏ rằng: 
Lời giải:
Chứng tỏ rằng: 
Suy ra 
TH1: 	
TH2: 
Bài 7: Chứng tỏ rằng: 
Lời giải:
Bài 8: Chứng tỏ rằng: 
Lời giải:
Bài 9: Chứng tỏ rằng:.
Lời giải:
	Ta có: 
Bài 10: Chứng tỏ rằng: 
Lời giải:
Bài 11: Cho . So sánh với 
Lời giải:
Ta có :
 ...
 Vậy 
Bài 12: Cho . So sánh A và B.
Lời giải:
 Ta có:
Vậy .
Bài 13: Chứng tỏ rằng: 
Lời giải:
Ta có: 
Suy ra 
 (đpcm)
Bài 14: Chứng minh rằng: 
 Lời giải:
Ta có:
 Vậy