Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề Hình học phẳng: Phương tích, trục đẳng phương

PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
	---------------------	
Phương tích của một điểm đối với đường tròn (Power of a point).
Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó 
Chứng minh:
Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có hay B là hình chiếu của C trên AM. 
Khi đó ta có 
Định nghĩa. Giá trị không đổi trong định lý 1.1 được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu PM/(O). Ta có: 
...g phương của hai đường tròn (Radical axis) – Tâm đẳng phương(Radical center). 
Trục đẳng phương
a) Định lý 2.1 Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2). Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2). 
Chứng minh:
a) Phần thuận
Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường tròn bằng nhau.
Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm của O1O2. Ta có: 
Từ ...ẳng nối tâm. 
Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng.
 Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua M vuông góc với OI là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng.
Nếu (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vu...Ta có suy ra thẳng hàng. Mà suy ra 
Giả sử d12 và d23 có điểm M chung. Khi đó ta có 
Từ đây suy ra nếu có hai đường thẳng trùng nhau thì đó cũng là trục đẳng phương của cặp đường tròn còn lại. 
Nếu hai trục đẳng phương chỉ cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cũng thuộc trục đẳng phương còn lại
b) 	Các hệ quả. 
1. Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm
2. Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng.
3.	Nếu 3 đườn...ác bài toán về phương tích
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định. 
Hướng dẫn. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB.
Gọi C là giao điểm của AB và (I). Khi đó ta có: 
(không đổi vì A, (O) cố định). 
Suy ra 
Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định.
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định. 
Ví dụ 2: ... trên đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hính chiếu của A lên d thì âm và không đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB. Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định. 
Hướng dẫn 
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN và I là giao điểm của OK và MN. Ta thấy O chính là trung điểm của AA’.
Gọi D và P là giao điểm của AA’ với (ABC) và MN. 
Dễ thấy 
Suy r... thứ 2 là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là N. Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui. 
Hướng dẫn: 
Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY. Ta cần chứng minh . 
Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra 
Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra 
Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính BD nên 
Suy ra 
Vậy XY, AM và DN đồng quy. 
Các bài toán về trục đẳng phương – Tâm đẳng phương
Ví dụ 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một ...a ( C) và (O) nên . Ta cũng dễ thấy . 
Hơn nữa H chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), ( C) và đường tròn đường kính CH. Suy ra PQ đi qua H. Vậy DE, PQ cùng đi qua H và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau. Hay D, E, P, Q thẳng hàng.
Ví dụ 6 (MOP 95)
	Cho tam giác ABC có đường cao BD và CE cắt nhau tai H. M là trung điểm của BC, N là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng NH vuông góc với AM. 
Hướng dẫn. 
Ta có 
Suy ra tứ giác EDMF nội tiếp. 
Từ đó ta có , suy ra N nằm trên trụ...Chứng minh rằng 
Hướng dẫn.
Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG)
Ta có và (đồng vị), suy ra , suy ra BMPC nội tiếp.
Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp. 
Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra 
Mà (Định lý Thalet)
Suy ra 
Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra . 
Ví dụ 8. (Chọn đội tuyển Việt Nam 2006) Cho tam giác ABC là tam giác nhọn và không phải tam giác cân nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Một đường thẳng d thay đổi sao c...à hang điểm điều hòa. Suy ra (QPBC) = - 1. Khi đó ta có: 
, suy ra 
Mà tứ giác BMNC cũng nội tiếp vì có (Ax là tia tiếp tuyến của (O)). Suy ra 
Từ đó suy ra , suy ra tứ giác MNIP nội tiếp, suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua điểm E cố định. 
Giả sử 3 đường cao AD, BF và CJ của tam giác ABC cắt nhau tại I; ba đường cao MX, AY, NZ của tam giác AMN cắt nhau tại H. Ta cần chứng minh K, I, H thẳng hàng.
Xét đường tròn tâm (O1) đường kính BN và tâm (O2) đường kính CM. 
Ta thấy: