Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề Phương tích - Trục đẳng phương

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TÍCH - TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
A.PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
 Hình học phẳng là một chuyên đề tương đối quan trọng của chương trình THPT chuyên Toán. Trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Thi Olympic Toán Quốc tế và khu vực, các bài toán về hình học phẳng luôn luôn xuất hiện một bài hoặc thậm chí hai bài. Có rất nhiều cách, có nhiều định lý, nhiều kiến thức để học sinh có thể xử lý các yêu cầu của bài toán như: Phép biến hình; hàng điểm điều hòa; định lýCeva, Menelauyt; các ... nhiều ứng dụng trong các bài toán: Chứng minh sự đồng quy; ba điểm thẳng hàng; điểm cố định hoặc tính toán một số đại lượng trong tam giác và trong đường trònSử dụng phương tích và trục đẳng phương thường cho ta lời giải gọn gàng, dễ hiểu; tránh được một số bước vẽ hình phức tạp. Tuy nhiên, làm thế nào để học sinh phát hiện và vận dụng kiến thức về Phương tích - Trục đẳng phương vào trong các dạng toán chứng minh trên? Nếu dùng Trục đẳng phương thay một số kiến thức khác thì sẽ thu được điều gì...o năm 2015-2016. 
2.Mục đích của đề tài
 Việc sử dụng kiến thức về phương tích - trục đẳng phương trong hình học phẳng được khai thác dưới nhiều khía cạnh khác nhau, tùy theo yêu cầu của mỗi bài toán. Tuy nhiên, nhằm khai thác thế mạnh của kiến thức này, đề tài “ Phương tích - Trục đẳng phương” tập trung vào một vài ứng dụng chính mà tần số các câu hỏi dạng đó xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi tương đối cao. Đó là: Chứng minh thẳng hàng; sự đồng quy; điểm cố định; quỹ tích điểm và một s...NỘI DUNG
 I.Tóm tắt lý thuyết 
1. Phương tích của một điểm đối với đường tròn 
1.1.Bài toán: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, = d. Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó 
Chứng minh:
Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có hay B là hình chiếu của C trên AM. 
Khi đó ta có 
1.2.Định nghĩa. Giá trị không đổi trong bài toán trên được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu . 
 Và 
1.3.Định lý 1.1. Nếu hai đường thẳng AB và...riển theo tiếp tuyến: M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến của (O) thì .
 +) Khi M nằm trên (O) thì .
 b. Nếu A, B cố định và là số không đổi, do đó M cố định. Khai thác tính chất này giúp ta giải các bài toán về đường thẳng đi qua điểm cố định. 
2. Trục đẳng phương của hai đường tròn - Chùm đường tròn. 
2.1. Định lý 2.1 Cho hai đường tròn không đồng tâm và . Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng...rục đẳng phương của chúng.
 3.Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua M vuông góc với OI là trục đẳng phương của hai đường tròn.
 4.Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
 5.Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng.
 6.Nếu (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với OI chính là trục đẳng phương của hai đường tròn....ục đẳng phương của các cặp đường tròn cắt nhau tại K . Đường thẳng qua K vuông góc với là trục đẳng phương của 
2.4.Chùm đường tròn
 Tập hợp những đường tròn có chung một trục đẳng phương gọi là chùm đường tròn.
 Định lý cơ bản: 
 Cho hai đường tròn và một tập hợp là một chùm đường tròn.
3. Tâm đẳng phương
3.1. Định lý 3.1 Cho 3 đường tròn sao cho không thẳng hàng . Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là tâm...ơng còn lại.
3.2.Các hệ quả. 
 1.Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm
 2.Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng.
 3.Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau.
II. Ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương
 II.1.Ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương trong chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy, chứng minh một đường đi qua...minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy bằng cách sử dụng tâm đẳng phương ta cần xây dựng các đường tròn (C ), (I), (T) từng cặp nhận a, b, c làm trục đẳng phương và a, b cắt nhau tại K khi đó K là tâm đẳng phương của ba đường tròn. Do đó c đi qua điểm K.
 1.3. Giả sử cần chứng minh một đường thẳng c đi qua điểm cố định M ta xây dựng mô hình bài toán theo các hướng sau:
 1.3.1.Ba đường thẳng a,b, c là trục đẳng phương của ba cặp đường tròn trong đó a, b cố định cắt nhau tại M, suy ra c qua M.
 1... thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E, F là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC. Cho (I) là đường tròn thay đổi đi qua E, F , I là tâm.
Giả sử (I) tiếp xúc với B C tại điểm D. Chứng minh rằng 
Giả sử (I) cắt cạnh BC tại M, N. Gọi H là trực tâm tam giác ABC; P,Q là các giao điểm của (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Đường tròn (K) đi qua P, Q và tiếp xúc với (O) tại T ( T cùng phía A đối với PQ). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc MTN luôn đi qua một đi