Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề Ứng dụng phương tích, trục đẳng phương trong bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẲNG HÀNG, ĐỒNG QUY
Lí do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài
Nếu so sánh với kiến thức hình học THCS mà học sinh được tiếp nhận thì phần phương tích trục đẳng phương là phần cơ bản và có rất nhiều ứng dụng trong phần đầu của hình học THPT. Phần phương tích trục đẳng phương xuất hiện rất nhiều trong các bài toán thi HSG quốc gia và quốc tế, nó thường mang một nét rất sơ cấp và lời giải rất đẹp. Một học sinh khi học hình....
Chứng minh:
Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có hay B là hình chiếu của C trên AM. 
Khi đó ta có
Định nghĩa 1.1. Giá trị không đổi trong 
Định lý 1.1 được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu ). Ta có .
Hệ quả 1.1
Điểm M nằm trên (O) khi và chỉ khi .
Khi M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến của (O) thì 
3) Nếu A, B cố định và M cố định. Ý tưởng này giúp ta giải các bài toán về đường đi qua điểm cố định. 
Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB và...trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2). 
Chứng minh
a) Phần thuận
Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường tròn bằng nhau.
Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm của O1O2. Ta có: 
Từ đây suy ra H cố định, suy ra M thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với O1O2. 
b) Phần đảo. 
Các phép biến đổi trong phần thuận là phép biến đổi tương đương nên ta dễ dàng có điều cần chứng minh.
Vậy tập hợp những điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là đường thẳn... tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng.
Nếu (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với OI chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Định lý 2.2 Cho 3 đường tròn (C1), (C2) và (C3). Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn. 
Chứng minh. 
G... đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm
2. Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng.
3.	Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau.
4.	Cách dựng trục đẳng phương của hai đường tròn không cắt nhau:
 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) không cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương của hai đường tròn như sau:
Dựng đường tròn (O3) cắt cả hai đường tròn (O1) và (O2)...i tiếp đường tròn (O). Các điểm A’, B’, C’ thuộc BC, CA, AB tương ứng sao cho . Chứng minh rằng A’, B’, C’ cùng thuộc đường thẳng vuông góc với OI.
Giải
Ta có 
Suy ra , hay A’I là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC, suy ra 
Xét đường tròn ( ) tâm I, bán kính là 0, ta có
Tương tự ta có 
Suy ra A’ , B’, C’ cùng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn ( ) và (O)
Ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H thuộc đoạn AB. Đường thẳng qu... nữa H chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), ( C) và đường tròn đường kính CH. Suy ra PQ đi qua H. 
Vậy DE, PQ cùng đi qua H và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau. Hay D, E, P, Q thẳng hàng.
Ví dụ 3 (VMO 2014): Tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) cố định. Cạnh BC cố định, A thay đổi trên (O). Trên các tia AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho MA = MC, NA = NB. Các đường tròn (AMN) và (ABC) cắt nhau tại A, P. Đường thẳng MN cắt BC tại Q.
a) Chứng minh rằng A, P, Q thẳng hàng.
 b)...BFC là tứ giác điều hoà.
Từ đó suy ra AF luôn đi qua giao điểm của tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O). Mà B, C, (O) cố định nên có đpcm.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC không cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau T, đường thẳng AT cắt lại đường tròn tại X. Gọi Y là điểm xuyên tâm đối của X trên (O). Các đường thẳng YB, XC cắt nhau tại P, các đường thẳng XB, YC cắt nhau tại Q.
a. Chứng minh rằng P, Q, T thẳng hàng.
b. Chứng minh các đường thẳng PQ, BC và...đẳng phương của (O) và (T) tức là S thuộc BC. Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có góc C tù và không cân tại C nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau tại P. Các đường thẳng AC và PB cắt nhau tại D, các đường thẳng BC và AP cắt nhau tại E. Chứng minh rằng tâm các đường tròn (ACE), (BCD), (PCO) cùng nằm trên một đường thẳng.
Giải
Gọi theo thứ tự là tâm của các đường tròn (ACE), (BCD),(PAOB), (PCO) 
Do tam giác PAO vuông tại O và I là trung điểm PO nên...p tuyến chung của  tiếp xúc với  tại , tiếp xúc với tại . Gọi I, J, X, Y  lần lượt là trung điểm của các đoạn . 
a) Chứng minh rằng các điểm M, N, X, Y, I, J  cùng thuộc một đường thẳng d.
b) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Ta có  là trục đẳng phương của  và .
Mà , tương tự 
Do đó  thuộc trục đẳng phương của , tức  thuộc đường thẳng .
Dễ dàng thấy , do đó 
Mặt khác thì 
Nhưng  chính là đường trung bình của tam giác  : 
Nên   thẳng hàng, tương tự  thẳng hàng.