Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Định lí menelaus, định lí ceva và một vài ứng dụng

ĐỊNH LÍ MENELAUS, ĐỊNH LÍ CEVA VÀ MỘT VÀI
 ỨNG DỤNG
 Người viết: Nguyễn Tố Uyên
 Trường THPT Chuyên Cao Bằng
1.Định lí Ceva và định lí Menelaus dạng độ dài hình học.
1.1. Định lí Ceva: 
	Cho tam giác ABC và các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB. Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi:
(1) 
Chứng minh :
() Cho AA’, BB’, CC’ đồng quy ta chứng minh (1)
Giả sử BB’, CC’ cắt đường thẳng qua A song song với BC lần lượt tại I và K. Áp dụng định lí Thales có:
Hơn nữa ta ...n các đường thẳng BC, CA, AB sao cho: hoặc cả ba điểm A’, B’, C’ đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc một trong ba điểm trên nằm trên phần kéo dàocủa một cạnh còn hai điểm còn lại nằm trên hai cạnh của tam giác (*). Điều kiện cần và đủ để A’, B’, C’ thẳng hàng là
(1) 
Chứng minh :
() Cho A’, B’, C’ thẳng hàng ta chứng minh (1)
Từ C vẽ đường thẳng song song với AB cắt A’C’ tại M. Áp dụng định lí Thales ta có:
Mặt khác ta có và 
Do đó ta có 
() Cho các điểm A’, B’, C’ thoả mãn (*) và...C, CA, AB. Khi đó: các đưòng thẳng AM, BN, CP hoặc đồng quy hoặc đôi một song song khi và chỉ khi:
3.Một số ví dụ áp dụng.
Bài 1: Chứng minh rằng trong một tam giác:
Ba đường trung tuyến đồng quy.
Ba đường phân giác đồng quy.
Ba đường cao đồng quy.
Ba đường trung trực đồng quy.
Chứng minh. Xét tam giác ABC
Ba đường trung tuyến AM, NB, CP đồng quy.
Thật vậy ta có Theo định lí Ceva, AM, BN và CP đồng quy tại G (G là trọng tâm của tam giác).
Ba đường phân giác AD, BE và CF đồng quy.
Áp d...ó là ba đường cao của tam giác MNP nên đồng quy.
Bài 2: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, AC và AB lần lượt tại D, E, F. Khi đó các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại một điểm.
Chứng minh. Ta có BD = BF, CD = CE và AE = AF. Suy ra 
theo định lí Ceva, AD, BE và CF đồng quy tại J (J được gọi là điểm Gergonne của tam giác ABC).
Bài 3: Chứng minh rằng trong một tam giác, chân đường phân giác trong của hai góc và chân đường phân giác ngoài của góc t...ọi O là giao điểm của NP và BD. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BCD ta có 
Khi đó ta có : áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABD thì O, M, Q thẳng hàng. Vậy NP, BD và MQ đồng quy.
Bài 5: (Định lí Desargues ) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Gọi M là giao điểm của AB và A’B’, N là giao điểm của AC và A’C’, P là giao điểm của BC và B’C’. Khi đó M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi AA’, BB’ và CC’ đồng quy.
Chứng minh :
() Cho AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O. Ta chứng minh M, N, P thẳng hàng.... Theo định lí Ceva dạng lượng giác và theo định lí hàm số sin ta có:
AD, EB, CF đồng quy 
AB.CD.EF = BC.DE.FA
Bài 7: Cho tam giác ABC. Đường tròn (O) cắt cạnh BC tại X, Y; cắt cạnh CA tại Z, T; cắt cạnh AB tại U, V sao cho XYZTUV là các đỉnh của một lục giác lồi. XT cắt YU tại A’, ZV cắt TX tại B’, UY cắt VZ tại C’. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Chứng minh : 
Áp dụng định lí Ceva dạng lượng giác lần lượt cho các tam giác AUT, BXV, CZY với các sự đồng quy tương ứng là AA’, UA’, TA’...ọi H, I, J, K, L, G lần lượt là trung điểm của AC, BD, EF, BE, EC, CB.
Ta có:
H, G, L nằm trên đường thẳng song song với AE.
I, G, K nằm trên đường thẳng song song với DE.
J, L, K nằm trên đường thẳng song song với BF.
Áp dụng định lí Menelaus đối với tam giác BCE và đường thẳng ADF, ta có:
 .
 Vậy H, I, J thẳng hàng (định lí Menelaus đảo đối với tam giác GKL).
Bài 9: Cho tam giác ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB, BC sao cho EF song song BC, MB = MC. Chứng minh rằng CF, BE, AM đồn...inh AD, BE, CF đồng quy.
Chứng minh : 
Cách 1: (Chứng minh đồng quy)
	Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau AF = AE; BF = BD; CE = CD, 
suy ra 
. Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC ta có AD, BE, CF đồng quy.
Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt CF tại N, AD cắt CF tại I. Ta có: 
.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ACD thì B, I, E thẳng hàng. Từ đó suy ra AD, BE, CF đồng quy tại I.
Bài 11: Cho tam giác ABC đường cao AH. Lấy D, E theo thứ tự trên A...thẳng hàng. Từ đó suy ra AH, BE, CD đồng quy tại I.
Bài 12: Cho tứ giác lồi ABCD, các đường DA cắt CB tại K, AB cắt DC tại L, AC cắt KL tại G và DB cắt KL tại F. Chứng minh rằng .
Chứng minh : 
Áp dụng định lí Ceva cho tam giác DKL và điểm B, ta có:(1)
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giácDKL và đường thẳng ACG, ta có:
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra.
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh rằng AK, BG, CE đồng quy....ác, ba đường thẳng nối trung điểm của mỗi cạnh với trung điểm của đoạn thẳng Ceva bất kì xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó đồng quy.
Bài 2: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là điểm đối xứng của D, E, F qua I. Chứng minh rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.
Bài 3: Trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC vuông tại A người ta dựng các hình vuông ABEF và ACGI ở bên ngoài tam giác. GB cắt đường cao AH tạ