Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng

PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Phần 1: TÓM TẮT
---------------—& –---------------
 Các bài toán hình học phẳng có liên quan đến đường tròn là những bài toán hay và thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi hoặc đề thi tuyển sinh Đại học. Một khái niệm rất quan trọng và có nhiều ứng dụng liên quan đến đường tròn đó là phương tích của một điểm đối với đường tròn. Đây là một khái niệm không khó nắm bắt, nhưng những ứng dụng của nó trong việc giải quyết các ...uối là một số bài tập vận dụng khác. 
Phần 2. NỘI DUNG
Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa: 
Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M. Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O), ký hiệu là , được xác định như sau:
.
Nhận xét: Từ định nghĩa ta có:
 M nằm trong (O);
 M nằm trên (O);
 M nằm ngoài (O).
Định lý 1. Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M. Một đường thẳng thay đổi đi qua M và cắt (O) tại hai điểm A, B. Khi đó 
Hệ quả 1. Cho đường tròn (O) bán kính R và mộ...ó cùng phương tích đối với hai đường tròn trên là một đường thẳng vuông góc với đường nối tâm . Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của và .
Chú ý: 
Nếu hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm A, B. Lúc đó A, B đều có cùng phương tích bằng 0 đối với cả hai đường tròn và . Do đó trục đẳng phương của và chính là đường thẳng AB.

Nếu hai đường tròn và tiếp xúc với nhau tại điểm T. Lúc đó T có cùng phương tích bằng 0 đối với và . Do đó trục đẳng phương của và là đường thẳng qua T và vuông ...ng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn có tâm bán kính R. Khi đó điểm thuộc đường tròn khi và chỉ khi , tức là:
Phương trình (1) có thể được viết lại là: 
Phương trình (1) hoặc (2) đều được gọi là phương trình của đường tròn đã cho. 
 Ngược lại, cho phương trình: Khi đó có ba trường hợp sau xảy ra:
Nếu thì không có điểm nào có tọa độ thỏa phương trình (*).
Nếu thì có duy nhất điểm có tọa độ thỏa (*).
Nếu thì (*) là phương trình của đường tròn có tâm và bán kính 
b) Biểu thức tọa độ của phươ...ng cho đường tròn tâm I, bán kính R và đường thẳng . Khi đó:
 và không có điểm chung khi và chỉ khi 
 tiếp xúc với khi và chỉ khi 
 cắt tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi 
d) Vị trí tương đối giữa hai đường tròn 
 Trong mặt phẳng cho hai đường tròn và không cùng tâm. Gọi là trục đẳng phương của chúng. Khi đó vị trí tương đối giữa và chính là vị trí tương đối giữa một trong hai đường tròn (hoặc ) với .
Các ví dụ
1. Một số bài toán định lượng
 Mục này được dành để trình bày một số bài t...ho tam giác ABC nội tiếp đường tròn . Tính phương tích của trọng tâm G đối với theo các cạnh 
Giải
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên . Suy ra:
Vậy 
Ví dụ 2 (Phương tích của trực tâm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R. Tính phương tích của trực tâm H đối với theo R và các góc A,B,C.
Giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, theo tính chất về đường thẳng Euler ta có . Suy ra:
Vậy :
Chú ý: Từ kết quả trên ta suy ra một công thức tính OH là: 
Ví dụ 3 (Phương tích của tâm đường t...đường tròn . Chứng minh rằng 
Gọi M là trung điểm BC. Tính 
Giải:
Theo giải thiết, ta có 
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra và do đó . Lập luận tương tự ta cũng có và . Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.
Gọi M là trung điểm BC, do I là trực tâm của tam giác ABC nên:
 Từ đây suy ra:
Ta có 
 Suy ra:
Ví dụ 5. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I và đường tròn Gọi Chứng minh rằng 
Giải:
Ta có Từ suy ra
.
Vậy 
Ví dụ 6. Cho nửa đường tròn đường kính AB và hai điểm M, N thay đổi trên đó. Gọi I l...m B, C. Gọi D là trung điểm của AB. Một đường thẳng đi qua B cắt tại hai điểm E, F. Biết rằng các đường trung trực của DE và CF cắt nhau tại một điểm I trên đường thẳng BC. Tính tỉ số 
Giải:
Ta có 
Mặt khác lại có: nên
. Do đó tứ giác DECF nội tiếp một đường tròn (T). Tâm của đường tròn (T) nằm trên các đường trung trực của ED và CF nên I chính là tâm của (T). Mà I thuộc CD nên I là trung điểm CD. Từ đây ta có và:
 

Ví dụ 9 (IMO Shortlist 2011). Cho không phải là tứ giác nội tiếp. Gọi và l...ABCD nội tiếp (O) . Dựng hai hình thoi AEDF và BMCN có cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng bốn điểm EFMN cùng thuộc một đường tròn.
Giải:
Gọi R là bán kính của đường tròn (O), và . Do nên các điểm M, N, O, E, F không cùng nằm trên đường thẳng.
Ta có: 


Tương tự, Mà nên suy ra bốn điểm M, N, E, F cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ 2 (IMO Shortlist 1995). Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. X là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ...2008) . Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi lần lượt là các trung điểm của BC, CA, AB. Đường tròn tâm bán kính cắt BC tại đường tròn tâm bán kính cắt CA tại đường tròn tâm bán kính cắt AB tại Chứng minh rằng cùng thuộc một đường tròn.
Giải:
 Do và nên . Mà H là một điểm chung của đường tròn và đường tròn nên CH là trục đẳng phương của hai đường tròn và . Suy ra và do đó cùng thuộc đường tròn 
 Tương tự cùng thuộc đường tròn và cùng thuộc đường tròn . 
 Nếu hai trong ba đường tròn này trùng n