Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Ứng dụng phương tích, trục đẳng phương trong bài toán yếu tố cố định

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
TRONG BÀI TOÁN YẾU TỐ CỐ ĐỊNH
 Tác giả: Nguyễn Bá Hoàng
 Trường THPT Chuyên Lào Cai
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Các bài toán về Hình học phẳng thường xuyên xuất hiện trong các kì thi HSG môn toán và luôn được đánh giá là nội dung khó trong đề thi. Có rất nhiều dạng bài tập về hình học phẳng cùng với sự tương ứng của các công cụ đi cùng, trong đó phương tích và trục đẳng phương là một trong những công cụ thực sự hiệu quả để giải nhiều lớp bài t... thi.
Đối với lớp bài toán về yếu tố cố định thì học sinh thường gặp phải khá nhiều khó khăn khi giải từ việc dự đoán yếu tố cố định và chứng minh nó thỏa mãn yêu cầu đề bài. Tuy nhiên với hệ thống lý thuyết khá đơn giản nhưng hiệu quả phương tích, trục đẳng phương thường đem lại lời giải độc đáo, đẹp mắt và không kém phần thú vị cho lớp bài toán này.
Chính vì vậy tác giả lựa chọn chuyên đề: "Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương trong bài toán yếu tố cố định" để hy vọng phần nào chia sẻ và... nhất. Từ đó giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về việc sử dụng phương tích, trục đẳng phương và tăng khả năng vận dụng nó vào giải các bài toán hình học một cách tốt nhất.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Hệ thống lý thuyết cơ bản về phương tích và trục đẳng phương
1. Phương tích của một điểm đối với đường tròn.
Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó 
Chứng minh:
Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có hay ...1) M nằm trên đường tròn (O) khi và chỉ khi 
 M nằm ngoài đường tròn (O) khi và chỉ khi 
 M nằm trong đường tròn (O) khi và chỉ khi 
2) Khi M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến của (O) thì 
3) Nếu A, B cố định và M cố định. Ý tưởng này giúp ta giải các bài toán về đường đi qua điểm cố định. 
4) Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt nhau tại M (M không trùng với A, B, T). Khi 
đó, nếu thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại T.
2. Trục đẳng phương của hai đườ...ng tích đối với hai đường tròn bằng nhau là đường thẳng đi qua điểm H (xác định như (1)) và vuông góc với O1O2. 
Một số hệ quả
Cho hai đường tròn (O1) và (O2). Từ định lý 2.1 ta suy ra được các tính chất sau:
1) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm.
2) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng.
3) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O1) và (O2) thì đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 là trục đẳng phương của hai đư... sau: 
Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó đường 
thẳng AB chính là trục đẳng phương của hai đường tròn
Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T. Khi đó tiếp tuyến chung tại T chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. 
Trường hợp 3: Hai đường tròn không có điểm chung. Dựng đường tròn (O3) cắt cả hai đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại A, B và C, D. Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 chính là trục đẳng p...iả sử d12 // d23. 
Ta có suy ra thẳng hàng. Mà suy ra 
TH2: Giả sử d12 và d23 có điểm M chung. Khi đó ta có:
Từ đây suy ra nếu có hai đường thẳng trùng nhau thì đó cũng là trục đẳng phương của cặp đường tròn còn lại. 
Nếu hai trục đẳng phương chỉ cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cũng thuộc trục đẳng phương còn lại
Một số hệ quả. 
1) Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm
2) Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn th... nên từ hệ thức trên ta có C cố định.
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định. 
Nhận xét: Việc tìm ra điểm C cố định là dễ hiểu bởi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của dây cung bất kì. Hơn nữa điểm B cố định và đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN với đường tròn (O) có trục đẳng phương là MN. Do A và (O) cố định nên không đổi
Bài 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm H cố định thuộc AB. Từ điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của (O), vẽ đường tròn (...n và cố định là dễ hiểu vì khi đó 
Bài 3. (VMO 2014) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), trong đó B, C cố định và A thay đổi trên (O). Trên các tia AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MA = MC và NA = NB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMN và ABC cắt nhau tại P . Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại Q.
a) Chứng minh rằng ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
b) Gọi D là trung điểm của BC. Các đường tròn có tâm là M, N và cùng đi qua A cắt nhau tại K . Đường thẳng qua A vuôn...ủa hai đường tròn này. Trục đẳng phương đó chính là dây chung AP nên suy ra A, P, Q thẳng hàng.
b) Ta thấy rằng đường tròn (ODC) tiếp xúc với (O) tại C nên trục đẳng phương của hai đường tròn này chính là tiếp tuyến d của (O) ở C. Ta sẽ chứng minh rằng O ∈ (ADE).
Thật vậy, ta có O,M cùng nằm trên trung trực của AC nên OM ⊥ AC. Tương tự thì ON ⊥ AB nên O là trực tâm tam giác AMN. Suy ra AO ⊥ MN.
Xét hai đường tròn (M, MA), (N, NA) thì do dây chung vuông góc với đường nối tâm nên ta có AK ⊥ MN.