Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất - Chủ đề 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4:
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước và Bội của một số nguyên
Với và Nếu có số nguyên q sao cho thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a.
2. Nhận xét
- Nếu thì ta nói a chia cho b được q và viết .
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
3. Ước chung của hai hay n...
II.Bài toán
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng 
a) 
b) 
Lời giải:
Gọi 
Vậy .
b) Gọi 
Vậy .
Bài 2: Cho là số tự nhiên lẻ, . Chứng minh rằng .
Lời giải:
Đặt và lẻ và lẻ
 và lẻ và lẻ.
Vậy 
Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu thì .
Lời giải:
+) Theo đầu bài ta có: chẵn lẻ 
+) Vì 
(nếu ). 
Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau và . Chứng tỏ rằng và hoặc là số nguyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19.
 Lời giải
Gọi 
Đặt đpcm
- Nếu 
 .
Bài 5: Chứng minh rằng: và a, b khác tính chẵn lẻ thì...thì 
 thì 
 thì .
Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của và 	
Lời giải:
a) Gọi 
Khi đó ta có: 
Vậy 
Bài 9: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của và 
Lời giải:
 Gọi 
Khi đó ta có: 
Vậy 
Bài 10: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của và 	
Lời giải:
 Gọi 
Khi đó ta có: 
Vậy .
Bài 11: Biết . Tìm .
Lời giải:
Gọi 
 hoặc 
và hoặc hoặc 
mà nên hoặc 
Vậy hoặc .
Bài 12: Cho là hai số tự nhiên. Gọi là tập hợp các ước số chung của và , là tập hợp các ước số chung của và . Chứng minh rằn...ùng nhau
I. Phương pháp giải
Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: 
Phương pháp giải: Giả sử 
Cách 1: Chỉ ra 
Cách 2: 
+) Giả sử (phương pháp phản chứng)
+) Gọi p là ước nguyên tố của d
+) Chỉ ra rằng (vô lý)
+) Kết luận 
II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau. 
Lời giải:
Gọi , nên ta có:
Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau với .
Bài 2: Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau. 
Lời giải:
Gọi 
Khi đó ta có:
M... và là nguyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi 
 và 
Vì nên hoặc .
Bài 6: Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
	Gọi 
Khi đó ta có :
Do , mà lại là số lẻ nên loại, do đó 	
Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi thì các số và ngyên tố cùng nhau
Lời giải:	
	 Gọi Khi dó ta có : 
	Do đó 
	Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi thì các số và ngyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi Khi đó ta ...ố , trái với giả thiết 
	Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau
	b) Giả sử và cùng chia hết cho số nguyên tố 
Suy ra tồn tại một trong hai số hoặc chia hết cho 
Khi , hoặc 
 và cùng chia hết cho , trái với 
 Vậy và nguyên tố cùng nhau
Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 1: Tìm để: và là hai số sau ngyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi 
Khi dó ta có: 
Do đó 
Vậy với mọi hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm để: và là hai số sau ngyên tố cùng nhau
Lời giải...à là hai số nguyên tố cùng nhau thì ( là số tự nhiên)
Bài 4: Tìm để và là hai số nguyên tố cùng nhau 
Lời giải:
Gọi 
	Nếu chẵn và, chẵn loại
	Nếu Vô lý d=3(loại)
	Nếu là số lẻ lẻ lẻ và lẻ lẻ
Vậy lẻ
Bài 5: Tìm số tự nhiên để và nguyên tố cùng nhau. 
Lời giải:
 Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d, d N*
 Để và là hai số nguyên tố cùng nhau thì khác 3 hay 
	Vậy thì và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 6: Tìm số tự nhiên để và nguyên tố cùng nhau. 	 	
Lời giải:
b, Gọi , 
 Để và là hai số nguyên