Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học Lớp 7

THễNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
 1. Tờn sỏng kiến: Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7 
 2. Lĩnh vực ỏp dụng sỏng kiến: Mụn Hình học 7 bậc trung học cơ sở.
 3. Tỏc giả: 
Họ và tờn: Giới tớnh: Nam
Ngày/tháng/năm sinh: 
Trỡnh độ chuyên môn: Đại học Toán
Chức vụ, đơn vị công tác: 
Điện thoại: 
4. Chủ đầu tư tạo ra sỏng kiến: 
Số ĐT: 
5. Đơn vị áp dụng sỏng kiến: 
6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sỏng kiến: GV cú trỡnh độ chuyên môn Toán. 
7. Thời gian ỏp dụng sỏng kiến: 
 TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ
 ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
XÁC NHẬN CỦA PHềNG GD&ĐT 
TểM TẮT SÁNG KIẾN
Hoàn cảnh nảy sinh sỏng kiến:
Trong nhiều năm giảng dạy, tôi nhận thấy, nói chung khi học sinh giải bài tập, các em tỡm được lời giải thỡ đa số học sinh thoả món với kết quả đạt được, xem như đó xong, đó hoàn thành mục tiờu. Rất ớt em tỡm tũi, suy nghĩ cỏc vấn đề liên quan đến bài tập đó. Các em cũng ít khi đặt ra các giả thiết mới hoặc thay đổi giả thiết, kết luận để tỡm cỏc bài toỏn mới. Vỡ vậy khi gặp những bài toỏn cú ớt nhiều liờn quan đến bài tập đó làm, đa số các em chưa biết cách sử dụng các kết quả đó biết.
Trong quỏ trỡnh dạy học, ở một số tiết dạy (đặc biệt là các tiết luyện tập ) tôi đó cố gắng gợi ý cho cỏc em cỏc hướng tỡm tũi, phỏt triển một bài toỏn. Núi chung cỏc em rất hứng thỳ với những tiết học như vậy. Qua đó tôi thấy khả năng tư duy của các em có tiến triển hơn, các em tích cực hơn trong việc lĩnh hội kiến thức. Trong bài viết này tôi xin đưa ra một số bài toỏn khó hỡnh học đối với học sinh lớp 7 và một số cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải những bài toán đó. Cỏc bài toỏn cũng như các cách vẽ thêm yếu tố phụ này được dùng cho học sinh lớp 7 và cả các lớp 8, 9.
 Từ kinh nghiệm nhiều năm bồi dưỡng HSG tôi thấy có một số bài toán nếu biết xâu chuỗi và liên hệ chúng với nhau thì có thể giải quyết một cách dễ dàng. Bằng hình thức tìm tòi, tham khảo tài liệu và suy luận một số bài toán trong phạm vi chương trình THCS, tôi đã tập hợp thành một đề tài với tên gọi là:
 “Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7 ”
Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến:
 2.1. Điều kiện áp dụng sáng kiến:
 1/ Đối với học sinh: Các em cần phải nắm được các kiến thức về bài toán dựng hình cơ bản, các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại toán hình học và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.
 2/ Đối với giáo viên : Người giáo viên phải có trách nhiệm đem lại niềm say mê hứng thú với môn học, hướng dẫn các em cách khai thác, vận dụng từng vấn đề trong mảng kiến thức mà các em đã có. Để đạt hiệu quả cao khi áp dụng chuyên đề này giáo viên nên dành thời gian bồi dưỡng từ 1 – 2 buổi /tuần cho học sinh khá giỏi. Còn đối với học sinh đại trà thì tuỳ theo từng đối tượng (có thể chỉ giới thiệu các dạng cơ bản, lấy ví dụ minh hoạ đơn giản...).
 2.2. Thời gian ỏp dụng sỏng kiến:
Sau khi học sinh học xong các trường hợp bằng nhau của hai tam giác ( vào khoảng thỏng 12)
- Giai đoạn 1: Tiến hành thực nghiệm bồi dưỡng HSG lớp 7.
- Giai đoạn 2: Tiến hành áp dụng (Một số bài tập) vào dạy đại trà các lớp 7, 8.
 2.3. Đối tượng áp dụng sáng kiến:
 - Đề tài này xuất phát từ một số bài toán hình học 7. Tuy nhiên nếu để ý mở rộng bài toán, hoặc ghi nhớ bài toán để áp dụng cho các lớp 8, 9 cũng rất thú vị. 
Nội dung sỏng kiến :
+ Tớnh mới, tớnh sỏng tạo của sỏng kiến: 
Sáng kiến đưa ra được các giải pháp cũng như các cách thức giúp giáo viên sau khi áp dụng sẽ có thêm một số phương pháp trong giảng dạy những bài toán hình học khó, giúp học sinh tự tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra lời giải cho bài toán mà nếu như không dụng sáng kiến thì việc tìm ra phương pháp giải phù hợp cho một số dạng bài toán là rất khó.
+ Khả năng áp dụng của SK: 
 Qua việc bồi dưỡng , giảng dạy toán 7, tôi thấy rằng để giúp học sinh hiểu sâu sắc từng vấn đề thì ngoài việc nghiên cứu kỹ các dạng bài tập, chuẩn bị bài một cách chu đáo, giáo viên còn cần có: Phương pháp giảng dạy hợp lý. Kinh nghiệm cho thấy, với bài tập nâng cao về môn hình học 7 giáo viên cần phải hướng dẫn các em một cách dần dần, đi từ những vấn đề đơn giản, cơ bản, sau đó phân tích bài toán theo nhiều hướng khác nhau giúp học sinh có thể phát triển được năng lực sáng tạo trong việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải Toán. Sau mỗi bài giáo viên cần củng cố phương pháp giải quyết và có thể khai thác thành bài toán mới bằng cách thay đổi dữ kiện để học sinh tự mình vân dụng.
 + Chỉ ra lợi ớch thiết thực của SK: 
 Việc áp dụng sáng kiến là rất thiết thực, bởi lẽ giúp giáo viên có thêm phương pháp, cách phân tích bài toán giúp học sinh có thể tìm ra cách giải cho bài toán mà nếu không vẽ thêm yếu tố phụ thì không thể tìm lời giải cho bài toán. Giúp học sinh có thêm tài liệu để phục vụ tốt cho việc học tập, giải toán vẽ thêm yếu tố phụ.
Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến:
Trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng hai cách dạy, cách thứ nhất (Không sử dụng đề tài), nghĩa là ra một số bài tập, không liên quan đến nhau. Cách thứ hai (Có sử dụng đề tài), nghĩa là ra các bài tập từ dễ đến khó, các bài tập liên quan đến nhau, bài sau được phát triển từ bài trước. Tôi đã thu được kết quả như sau:
 * Ở giai đoạn 1: 
- Ở cách dạy thứ nhất, học sinh vẫn chăm chú học bài song sự chú ý của các em học sinh không được lâu, không có sự hứng thú, chán nản vì không giải được bài tập.
- Với cách dạy thứ hai, tôi thấy em nào cũng thích thú, hào hứng học tập. Các em giải được nhiều bài tập, giúp các em thoải mái hơn, yêu thích môn học hơn.
* Ở giai đoạn 2.
Đối với học sinh đại trà thì những bài toán hình học là rất khó khăn, thậm chí có em thầy cô đã giải xong rồi nhưng cũng không biết, nên số học sinh tự suy luận để tìm ra lời giải là rất ít, vì vậy cần xâu chuỗi các bài toán với nhau, ngoài ra còn sử dụng kết quả của các bài toán đã làm. Tôi thấy rằng các em đã hứng thú học tập một cách đáng kể. Một số em yêu thích môn học hơn, không ngại khó khi đối mặt với các bài tập hình, từ đó phát triển tư duy tốt hơn.
 Nội dung chuyên đề skkn đưa ra một số bài toán nâng cao điển hình trong môn hình hoc 7 được phân ra từng dạng, giúp học sinh dễ dàng trong việc tìm lời giải bài toán và giúp giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Qua thực tế bồi dưỡng học sinh tôi thấy rằng khi chưa triển khai chuyên đề skkn này thì học sinh tiếp thu bài không có hệ thống và còn khó khăn, kiến thức chưa vững chắc, sau một thời gian khi gặp lại bài đã làm cùng dạng lại quên cách giải. Khi áp dụng chuyên đề skkn này dưới hình thức giảng dạy theo chuyên đề cho học sinh khá giỏi tôi thấy kết quả là có tới 75% học sinh hiểu sâu sắc bản chất từng vấn đề nên khi gặp các bài toán khác nhau các em đã nhận dạng và vận dụng cách giải linh hoạt hơn với mỗi dạng. Đa số học sinh làm tốt các dạng toán cơ bản hay gặp.
Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến.
 Để có thể dạy - học tốt và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS tôi xin đề xuất một số vấn đề sau:
1, Toán học là bộ môn văn hoá cơ bản trong nhà trường phổ thông do đó cần phải có nhận thức đúng đắn về vai trò, vị trí của nó trong cấu trúc chương trình. 
2, Tạo điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị, phương tiện dạy - học để việc tổ chức tiết học đạt hiệu quả.
3, Nhân rộng và phổ biến những kinh nghiệm hay mô hình tốt có hiệu quả thiết thực.
4, Đầu tư kinh phí hợp lý cho công tác nghiên cứu thực tế, nắm tốt thông tin từ giáo viên và học sinh, đề ra những chủ trương, biện pháp khả thi thiết thực.
5, Phòng Giáo dục và nhà trường nên có những chương trình học tập nâng cao trình độ chuyên môn cho các thầy cô giáo.
MỤC LỤC
 TÊN TIÊU ĐỀ TRANG
 MÔ TẢ SÁNG KIẾN 6
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến. 6
 1.1. Lí do nảy sinh sáng kiến. 6
 1.2. Mục đích ngiên cứu. 7 
 1.3. Nhiệm vụ của đề tài sáng kiến. 7
 1.4. Phương pháp nghiên cứu. 7
2. Cơ sở lý luận của việc vẽ thêm yếu tố phụ. 8 
3. Cơ sở thực trạng của vấn đề. 10 
4. Các giải pháp biện pháp thực hiện. 10
 4.1. Bài toán 1. 11
4.2. Bài toán 2. 12
4.3. Bài toán 3. 13
4.4. Bài toán 4. 14
4.5. Bài toán 5. 14
 4.6. Bài toán 6. 16
 4.7. Bài toán 7. 16
4.8. Bài toán 8. 17
4.9. Bài toán 9. 19
4.10. Bài toán 10. 20
4.11. Bài toán 11. 23
4.12. Bài toán 12. 24
5. Kết quả thực nghiệm sư phạm. 27
5.1. Mục đớch thực nghiệm. 27
5.2. Cỏc giai đoạn thực nghiệm. 27 
 5.3. Kết quả thực nghiệm 27 
 5.4. Kết quả cụ thể:	 27
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận. 28
2. Kiến nghị. 28
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. HOÀN CẢNH NẢY SINH SÁNG KIẾN:
1.1. Lí do nảy sinh sáng kiến.
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân.
Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. 
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán. 
Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? Gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn. Chính vì vậy tôi muốn đưa ra “ Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Tổng hợp được nhiều kiến thức hình học trong chương trình THCS.
- Giúp học sinh biết cách suy luận các bài toán cũng như liên hệ giữa các bài toán, từ đó nâng cấp mức độ tư duy.
- Giúp học sinh tự tin hơn khi tiếp cận với các bài toán tổng quát.
- Gây hứng thú cho học sinh khi giải bài tập. 
1.3. Nhiệm vụ của đề tài sáng kiến.
- Trong đề tài này tôi lấy cơ sở xuất phát từ những bài toán khó, phức tạp và nếu như không vẽ thêm yếu tố phụ thì rất khó thậm trí không thể tìm ra lời giải cho bài toán .
- Trang bị cho học sinh một số kiến thức toán học, một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ bổ ích trong chương trình môn Toán THCS.
- Rút ra nhận xét cho một số bài toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Xuất phát từ bài tập hình học đơn giản.
- Tìm tòi tài liệu, tham khảo tài liệu.
- Phát hiện, xâu chuỗi các bài toán.
- Kiểm tra kết quả, áp dụng vào giảng dạy, tổng hợp kết quả của học sinh.
2. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ
*Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình THCS.
Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.
Giải:
* Cách dựng: 
- Dựng tia Ax.
Dựng đường tròn(A; c). Gọi B là giao điểm của đường tròn ( A; c) với tia Ax.
Dựng đường tròn (A; b) và đường tròn (B; a), gọi C là giao điểm của chúng. Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b và BC = a.
Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; b) và ( B; a) không cắt nhau thì không dựng được tam giác ABC.
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng: 
Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được DOAB.
y
x
O
A
B
O’
A’
B’
Dựng DO’A’B’ = DOAB ( c.c. c) như bài toán 1, ta được O’ = O.
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của góc xAy cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn ( A; r ) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
Dựng các đường tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia AD là tia phân giác của xAy.
Thật vậy: DABD = DACD ( c- c- c) Þ A1 = A2
x
y
z
A
B
C
D
r
r
r
r
1
2
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Cách dựng:
Dựng hai đường tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D. Giao 
điểm của CD và AB là trung điểm của AB.
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
Dựng đường trung trực của AB.
- Đường trung trực của AB là đường thẳng vuông góc với đường thẳng a
Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện.
 3. CƠ SỞ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo một cách gồm các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả.
4. CÁC GIẢI PHÁP BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:
 Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7: 
Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc
4.1 Bài toán 1: 
Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H Î BC) thì DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H Î BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hướng suy nghĩ:
A
B
C
H
D
DABC cân tại A Û AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của BC. Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm; ;
 DH ^ BC, DH = 4 cm
KL
D ABC cân tại A.
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =
Lại có: BD == 5 cm ( do D là trung điểm của AB)
Xét D HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2
Þ BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 = 9 Þ BH = 3 ( cm)
Ta có BH + HK = BK ( Vì H nằm giữa B và K ) 
A
B
C
H
K
D
Þ HK = BK – BH = 6–3 = 3 (cm)
Xét DABK có BD = DA ( gt ) ; BH = HK ( = 3 cm)
Þ DH // AK ( đường nối trung điểm 2 
cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).
Ta có: DH ^ BC, DH // AK Þ AK ^ BC.
AKB = AKC = 900
Xét D ABK và DACK có:
BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
AKB = AKC = 900
 AK là cạnh chung
Do đó D ABK = DACK (c - g - c)
Þ AB = AC Þ D ABC cân tại A. ( đpcm)
4) Nhận xét: 
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình Toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
4.2. Bài toán 2: 
Cho tam giác ABC có B = C; chứng minh rằng: AB = AC? (Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc .cạnh. góc của hai tam giác).
1) Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có B = C; Yêu cầu: chứng minh AB = AC.
2) Hướng suy nghĩ: 
Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC ( IÎ BC)
3) Chứng minh: 
GT
DABC; B = C 
KL
AB = AC
I
Vẽ tia phân giác AI của BAC ( IÎ BC).
ÞA1 = A2 = 1/2.BAC. (1) 
 áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác vào hai tam giác ABI và ACI ta có: 
A1 + B + I1 = 1800 => I1 = 1800 – (A1 + B)
A2 + C + I2 = 1800 => I2 = 1800 – (A2 + C)
Mặt khác B = C ( gt); A1 = A2 ( theo (1) )Þ I1 = I2 (2) 
Xét D ABI và D ACI ta có:
I1 = I2 ( theo (2))
Cạnh AI chung
A1 = A2 ( theo (1))
Þ D ABI = D ACI ( g - c - g) 
Þ AB = AC ( 2 cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
 Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.
Cách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
4.3. Bài toán 3: 
Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, yêu cầu chứng minh: 
2) Hướng suy nghĩ: 
B
A
C
M
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
3) Chứng minh:
GT
DABC;A = 900;
AM là trung tuyến
KL
B
A
C
M
D
1
1
2
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét D MAC và D MDB ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 = M2 ( hai góc đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
Þ D MAC = D MDB ( c - g - c) Þ AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1)
 A1 = D (2 góc tương ứng).
Từ (1) Þ A1 = D Þ AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
 Lại có: AC ^ AB ( gt) Þ AC ^CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) =>ACD = 900; BAC = ACD = 900 (2)
Xét D ABC và D CDA có:
AB = CD ( Theo (1))
BAC = ACD = 900 ( Theo (2))
AC là cạnh chung
Þ D ABC = D CDA ( c - g - c) 
Þ BC = AD ( 2 cạnh tương ứng ) Mà nên 
4) Nhận xét: 
Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh ta đã vẽ thêm đoạn thẳng MD trên tia AM sao cho MD = MA, do đó Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC và đưa bài toán đã cho trở về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác.
4.4. Bài toán 4: 
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC.
 So sánh BAM và MAC ? ( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2 )
1) Phân tích bài toán: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. 
Yêu cầu : So sánh: BAM và MAC ?
2) Hướng suy nghĩ: 
Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
B
A
 C
M
3) Chứng minh: 
GT
DABC; AB < AC
M là trung điểm BC
KL
So sánh:BAM và MAC?
B
A
 C
D
M
2
1
1
2
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét D MAB và D MDC ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 =M2 ( vì đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
Þ D MAB = D MDC ( c - g - c) 
Þ AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) 
và A1 =D (2 góc tương ứng). (2)
Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) Þ CD < AC.(3) 
Xét DACD có: 
 CD < AC ( theo (3))
 A2 <D (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
Mà A1 =D ( theo (2)) nên A2 <A1 hayMAC <BAM 
4) Nhận xét: 
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc A2 và A1 về cùng một tam giác bằng cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó A1 =D, ta chỉ còn phải so sánh A2 vàD ở trong cùng một tam giác ADC.
B
A
C
D
Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.
4.5. Bài toán 5: 
Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.
 Chứng minh: AB = CD, AC = BD? 
( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
 Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. 
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hướng suy nghĩ:
để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra hai tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
3) Chứng minh:
B
A
C
D
GT
AB // CD; AC // BD
KL
AB = CD; AC = BD
Xét D ABD và D DCA có:
BAD =CDA ( so le trong - AB // CD)
AD là cạnh chung
ADB =DAC ( so le trong - AC // BD)
Þ D ABD = D DCA ( g - c - g)
AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
4) Nhận xét: 
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh 
D ABD = D DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song.
Cách 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. 
4.6. Bài toán 6: 
Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. 
Chứng minh rằng D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán: Bài cho D ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều.
 2) Hướng suy nghĩ: 
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB ^ AC và suy ra  = 900.
3) Chứng minh: 
GT
I
A
B
C
H
M
1
2
3
2
1
D ABC; AH ^BC; 
trung tuyến AM;
A1 =A2 =A3 
KL
D ABC vuông ;
D ABM đều
Vẽ MI ^ AC ( I Î AC)
Xét D MAI và D MAH có:
H =I ( gt)
AM là cạnh chung) Þ D MAI = D MAH ( cạnh huyền - góc nhọn)
 A2 =A3 (gt) 
Þ MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Xét D ABH và D AMH có:
H1 =H2 = 900( gt)
AH là cạnh chung Þ D ABH= D AMH ( g - c - g)
A1 =A2 ( gt)	 
Þ BH= MH ( 2 cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: H Î BM , nên từ (1) và (2) Þ 
Lại có BM = CM (gt) 
 Xét D MIC vuông tại C có: nên C =300 từ đó suy ra: 
HAC = 600 Þ BAC = 3/2.HAC = 3/2.600 = 900.
Vậy D ABC vuông tại A. Vì C = 300 => B = 600
Lại có ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) và BM = MC ( vì M là trung điểm BC) suy ra AM = BM do đó D ABM cân tại A và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét: 
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ^ AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
4.7. Bài toán 7: 
Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng: BD = CE.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho D ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Yêu cầu chứng minh: BD = CE.
2) Hướng suy nghĩ: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba, rồi chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó. 
D
A
B
C
H
M
F
E
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB < AC; 
AH là tia phân giác BAC;
DE ^ AH 
KL
BD = CE
Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng DE.
Xét D MBF và D MCE có: 
MBF =MCE ( so le trong - BF // CE)
MB = MC ( gt)
BMF =CME ( đối đỉnh)
Do đó D MBF = D MCE (g -c - g)
Þ BF = CE ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Mặt khác D ADE có AH ^ DE và AH cũng là tia phân giác của ( gt)
Do đó: D ADE cân tại A Þ BDF =AED 
Mà BF // CE ( theo cách vẽ) Þ BFD =AED
Do đó: BFD = BDF Þ D BDF cân tại B Þ BF = BD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE ( đpcm )
4) Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS.
Năm cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp tam giác bằng nhau, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán.
Cách 5: Phương pháp “ tam giác đều”
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi.
Đặc biệt đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn học sinh chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như :
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.
- Tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền...
 Sau đó hướng dẫn học sinh nghĩ đến việc tình số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau).
Ta hãy xét một bài toán điển hình:
4.8. Bài toán 8: 
Cho tam giác ABC cân tại A, = 200. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng DCA = 1/2.Â.
1) Phân tích bài toán: Bài cho DABC cân tại A, = 200 = 200 ; AD = BC ( D ÎAB)
Yêu cầu chứng minh: DCA = 1/2.Â.
A
B
C
D
M
2) Hướng suy nghĩ: Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 -200 = 600 là số đo mỗi góc của 
tam giác đều Þ Vẽ tam giác đều BMC
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = AC; Â = 200; AD = BC (D ÎAB)
KL
 DCA = 1/2.Â.
Ta có: DABC; AB = AC; Â = 200 ( gt)
Suy ra: B = C = (1800 - 200):2 = 800
- Cách 1:
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), 
ta được: AD = BC = CM đồng thời AB M= AC M= 1800 - 600 = 200
Ta có D MAB = D MAC ( c - c - c) Þ MAB = MAC = 200: 2 = 100
Xét DCAD và DACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
CAD = ACM = 200
AC là cạnh chung
Do đó DCAD = DACM ( c -g -c )
DCA = MAC = 100
 Vậy DCA = 1/2. BAC
4) Nhận xét:
* Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 -200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
* Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Cách 2:
 Vẽ EAD đều nằm ngoài tam giác ABC, tạora 
 Khi đó EAC = CBA (c.g.c) vì: EA = BC (EAC = 600 + 200 = 800 = B)
800
A
C
B
D
E
1
2
?
 EAC