Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 5: Phương pháp kẹp trong bài toán số chính phương

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP KẸP TRONG BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
Cụ thể: Nếu có thì k không là số chính phương.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI:
Dạng 1: Chứng minh một số, một biểu thức số không là số chính phương.
I. Phương pháp giải: 
Để chứng tỏ một số không là số chính phương ta tiến hành theo 3 bước:
Bước 1: Chứng tỏ 
Bước 2: Chứng tỏ 
Bước 3: Từ 2 bước trên suy ra không là ...ó	
Suy ra 
Chứng tỏ không là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng:
 không là số chính phương.
không là số chính phương
Lời giải:
Ta có 
Ta đi chứng minh 
Thật vậy : 
 ( 1000 số )
Mà 
Từ 
Suy ra không là số chính phương (ĐPCM)
Ta có : 
Lại có:
(1000 số )
Từ 
Suy ra không là số chính phương (ĐPCM)
Bài 6: Chứng minh rằng:
 không là số chính phương.
Lời giải:
Ta có : 
Lại có:
 (100 số )
Từ 
Suy ra không là số chính phương (ĐPCM)
Dạng 2: Chứng minh biểu thức không là số ...
Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 không là số chính phương (ĐPCM)
Bài 2: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Lời giải:
Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là 
Đặt 
Đặt 
Nhận thấy 
Suy ra không là số chính phương 
Suy ra không là số chính phương 
Vậy tích bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
Lời giải:
Gọi 4 số tự nhiê...ng đó không là số chính phương.
Lời giải:
Đặt 
Với thì 	
Mặt khác với ta có 	
Từ ,suy ra không phải là một số chính phương.
Vậy số có dạng trong đó không là số chính phương (ĐPCM)
Bài 6: Cho là số nguyên dương và là ước nguyên dương của . 
CMR: không là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử: là số chính phương. 
Đặt: 	(1)
Theo bài ra ta có: 
Thay vào (1) ta được: 
Do là các số chính phương nên là số chính phương.
Mặt khác: không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử)
Vậy không là ... phương
Bài 2: Tìm số tự nhiên để là số chính phương.
Lời giải:
Vì là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:
+) là số chính phương
+) 
Ta có 
Đặt 
Nhận thấy 
Suy ra không là số chính phương 
Suy ra không là số chính phương với 
Vậy thì là số chính phương.
Bài 3: Tìm số tự nhiên để là số chính phương
Lời giải:
Vì là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:
+) là số chính phương
+) là số chính phương
+) 
Ta có 
Cũng có 
 không là số chính phương
Vậy với thì là số chính p... và đều là các số chính phương
Lời giải:
Ta có số tự nhiên có 2 chữ số nên 
Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được bằng 
Tương ứng với số bằng 
Tương ứng bằng 37; 73; 121; 181; 253. Trong đó chỉ có 121 là số chính phương. 
Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là 
Bài 7: Tìm số tự nhiên để là số chính phương
Lời giải:
Vì là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:
+) không là số chính phương.
+) ta xét: 
	(1)
	(2)
Từ (1) và (2) 
Vậy thì là số chính phương
Dạng 4: Tìm mộ...
Mặt khác theo bài ra ta có : 
Từ suy ra 
hoặc 
Mà nên 
Do 
Vậy số chính phương có 4 chữ số cần tìm là 
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Lời giải:
Gọi số chính phương phải tìm là : 
Ta có : 	
 	(1)	
Mà là số nguyên tố 	(2)
Từ (1),(2) ta suy ra 
Mà 
Thay vào (1) ta được : là số chính phương
Bằng phép thử từ 1 đến 9 ta thấy có là thỏa mãn 
Vậy số cần tìm là .
Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừ... là số chính phương ( loại)
Vậy số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó là 27.
Bài 6: Tìm ba số chính phương lẻ liên tiếp mà tổng của chúng là một số có 4 chữ số giống nhau.
Lời giải:
Gọi ba số lẻ liên tiếp đó là: 
Ta xét: 
Theo bài ra ta có ( lẻ và )
 (*)
Vì 
Mà lẻ nên 
Vì lẻ nên 
+ Thay vào (*) ta được 
Mà là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có tận cùng là (loại)
+ Thay vào(*) ta được 
Vậy ba số chính phương lẻ liên tiếp cần tìm là... là số nguyên tố nên 
Mà 
Vậy số chính phương cần tìm là 
Bài 9: Tìm một số chính phương biết nó bằng bình phương của một số có hai chữ số trừ đi bình phương của số gồm hai chữ số đó viết theo thứ tự ngược lại.
Lời giải:
Gọi số chính phương đó có dạng 
Theo bài ra ta có : 
Mà là số nguyên tố nên 
Vì 
suy ra là số chính phương
Mà 
Mặt khác vì cùng tính chẵn lẻ nên 
Vậy số chính phương cần tìm là 
Bài 10: Tìm số chính phương có dạng , biết : 
Lời giải:
Đặt 
Mà 
nên 
Vì là số nguy